《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例3 [贺州中考]如图,将两个完全相同的Rt△ACB和Rt△A'C'B'拼在一起,其中点A'与点B重合,点C'在边AB上,连接B'C.若∠ABC = ∠A'B'C' = 30°,AC = A'C' = 2,则B'C的长为( )

A.$2\sqrt{7}$     B.$4\sqrt{7}$   C.$2\sqrt{3}$    D.$4\sqrt{3}$
思路分析
∠A = ∠B'A'C' Rt△CBB' $B'C=\sqrt{BC^{2}+A'B'^{2}}$
AC = A'C' = 2 得BC,A'B'的长 代入
解析:∵∠ACB = ∠A'C'B' = 90°,∠ABC = ∠A'B'C' = 30°,AC = A'C' = 2,∴∠A + ∠ABC = 90°,AB = A'B' = 4,∴$BC^{2}=AB^{2}-AC^{2}=12$.∵Rt△ACB≌Rt△A'C'B',∴∠B'A'C' = ∠A,∴∠CBB' = ∠ABC + ∠B'A'C' = ∠ABC + ∠A = 90°,∴$B'C=\sqrt{BC^{2}+A'B'^{2}} = 2\sqrt{7}$.
答案:A

答案：

3 - 1 [自贡期末]如图,在Rt△ABC中,∠B = 90°,D为BC上一点,若CD = AD = 5,△ACD的面积为10,则BD的长为______.

答案： 3

3 - 2 [枣阳期末]在△ABC中,AB = 17,AC = 10,BC边上的高AD = 8,则BC = ______.

答案： 21或9　[解析]在Rt△ABD中,∠ADB=90°,则AD²+BD²=AB²,即8²+BD²=17²,
∴BD=15.
在Rt△ACD中,∠ADC=90°,则AD²+CD²=AC²,即8²+CD²=10²,
∴CD=6.若点D在线段BC上,则BC=BD+CD=15+6=21;若点D在线段BC的延长线上,则BC=BD - CD=15 - 6=9.综上所述，BC的长为21或9.

3 - 3 [方程思想]如图,在△ABC中,AB = AC,BC = 10,CD⊥AB于点D.若CD = 8,求AC的长.

答案： 解:
∵CD⊥AB,
∴∠ADC=∠BDC=90°.
　　在Rt△BCD中,BD=$\sqrt{BC^{2}-CD^{2}}$=$\sqrt{10^{2}-8^{2}}$=6.设AC=AB=x,则AD=x - 6.
　　在Rt△ACD中,AC²=AD²+CD²,
　　即x²=(x - 6)²+8²,
　　解得x=$\frac{25}{3}$,即AC的长为$\frac{25}{3}$.

例4 如图,在△ABC中,AB = 10,BC = 21,AC = 17,求△ABC的面积.

思路分析 作一边上的高构造直角三角形.

解:如图,过点A作AD⊥BC于点D.
设BD = x,则CD = 21 - x.
在Rt△ABD中,$AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}$,则$AD^{2}=10^{2}-x^{2}$;在Rt△ACD中,$AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$,则$AD^{2}=17^{2}-(21 - x)^{2}$.
∴$10^{2}-x^{2}=17^{2}-(21 - x)^{2}$,解得x = 6.
∴$AD=\sqrt{10^{2}-6^{2}} = 8$.
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}\times21\times8 = 84$.
解题策略 当题目中没有直角三角形时,通常作三角形一边上的高,将其转化为两个直角三角形,然后以两直角三角形的公共边作为“桥梁”,利用勾股定理列方程求解.

答案：

4 - 1 如图,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,AC = 9,BC = 12,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,则CE的长为______.

答案：
$\frac{21}{8}$ [解析]如图,连接AE.
　　　　　　　　　　　
∵DE是AB的垂直平分线，
　
∴AE=BE.设CE=x,则AE=BE=12 - x.
∵AC=9,
∴在Rt△ACE中,AC²+CE²=AE²,即9²+x²=(12 - x)²,解得x=$\frac{21}{8}$.故CE的长为$\frac{21}{8}$.