《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

题型三　直角三角形斜边上的中线的性质的运用
1.求角度
例7 [蚌埠期末]如图,在四边形ABCD中,∠ABC = ∠ADC = 90°,∠DAC = 45°,∠BAC = 30°,E是AC的中点,连接BE,BD,则∠DBE的度数为(　　　)
A.10°
B.12°
C.15°
D.18°
解析:如图,连接DE. ∵ ∠ABC = ∠ADC = 90°,E是AC的中点,∴ BE = AE = $\frac{1}{2}$AC = DE. ∴ ∠EDA = ∠DAC = 45°. ∴ ∠DEC = ∠EDA + ∠DAC = 90°. 同理可得∠BEC = 60°. ∴ ∠DEB = ∠DEC + ∠BEC = 90° + 60° = 150°. ∵ DE = BE,∴ ∠DBE = ∠BDE = $\frac{1}{2}$(180° - ∠DEB) = $\frac{1}{2}$×(180° - 150°) = 15°.
答案:C
技巧点拨 当两个直角三角形共斜边时,若已知斜边上的中点,则一般可作斜边上的中线构造等腰三角形解决问题.

答案：

7 - 1 如图,在△ABC中,AB = AC,BE⊥AC,D是AB的中点,且DE = BE,则∠C的度数是(　　　)
A.65°　　B.70°　　C.75°　　D.80°
　　 　　　　

答案： C　[解析]
∵BE⊥AC，
∴∠AEB = 90°.
∵D是AB的中点，
∴DE = $\frac{1}{2}$AB = BD = AD.
∵DE = BE，
∴DE = BE = BD.
∴△BDE为等边三角形.
∴∠ABE = 60°.
∴∠A = 90° - ∠ABE = 30°.
∵AB = AC，
∴∠C = ∠ABC = $\frac{1}{2}$(180° - ∠A) = 75°.

7 - 2 如图,在△ABC中,AB = AC,DE垂直平分AB,BE⊥AC,AF⊥BC,则∠EFC的度数为_____.

答案： 45°　[解析]
∵DE垂直平分AB，
∴AE = BE.
∵BE⊥AC，
∴△ABE是等腰直角三角形.
∴∠BAC = ∠ABE = 45°.又AB = AC，
∴∠ABC = ∠C = $\frac{1}{2}$(180° - ∠BAC) = 67.5°.
∴∠CBE = ∠ABC - ∠ABE = 22.5°.
∵AB = AC，AF⊥BC，
∴BF = CF.
∴EF是Rt△BEC斜边上的中线，
∴BF = EF.
∴∠BEF = ∠CBE = 22.5°.
∴∠EFC = 2∠BEF = 45°.

7 - 3 如图,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,CD是斜边AB上的中线,过点A作AE⊥CD于点F,交BC于点E,且∠EAB = ∠DCB. 求∠B的度数.
　　　　　　　　　　

答案： 解：
∵AE⊥CD，
∴∠AFC = ∠ACB = 90°.
∴∠CAE + ∠ACD = ∠ACD + ∠DCB = 90°.
∴∠CAE = ∠DCB.
∵∠EAB = ∠DCB，
∴∠CAE = ∠EAB = ∠DCB.
∴∠CAB = 2∠DCB.
∵CD是斜边AB上的中线，
∴CD = $\frac{1}{2}$AB = BD.
∴∠B = ∠DCB.
∴∠CAB = 2∠B.
∵∠B + ∠CAB = 90°，
∴∠B = 30°.

2.与线段有关的计算或证明
例8 如图,过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC,分别交AB,DC于点E,F,G为AE的中点. 若∠AOG = 30°,求证:OG = $\frac{1}{3}$DC.

思路分析

证明:如图,连接OB. ∵ EF⊥AC,
∴ △AOE是直角三角形,∠AOE = 90°.
又G为AE的中点,∴ OG = AG = GE.
∴ ∠BAC = ∠AOG = 30°. ∴ ∠AEO = 60°,
∴ △OEG是等边三角形.
∴ OG = OE = GE.
在Rt△ABC中,BO是斜边AC上的中线,∴ OA = OB.
∴ ∠ABO = ∠BAC = 30°. ∴ ∠AOB = 180° - ∠ABO - ∠BAC = 180° - 30° - 30° = 120°.
∴ ∠BOE = ∠AOB - ∠AOE = 30°.
∴ ∠ABO = ∠BOE,
∴ OE = EB. ∴ OG = AG = GE = EB.
又四边形ABCD是矩形,
∴ OG = $\frac{1}{3}$AB = $\frac{1}{3}$DC.
解题策略 在直角三角形中出现中点时,一般要运用三角形的中位线或斜边上的中线的相关性质解决问题.

答案：

8 - 1 [南充期末]如图,DE是△ABC的中位线,直角∠AFB的顶点在DE上,AB = 5,BC = 8,则EF的长为(　　　)
A.1
B.1.5
C.2
D.不能确定
　　　　　　　　　　

答案： B　[解析]
∵D为AB的中点，∠AFB = 90°，AB = 5，
∴DF = $\frac{1}{2}$AB = 2.5.
∵DE是△ABC的中位线，BC = 8，
∴DE = $\frac{1}{2}$BC = 4，
∴EF = DE - DF = 4 - 2.5 = 1.5.