《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例1★☆☆已知直角三角形的两边长分别为6和8,则第三边长为(　　)
A.10　　　B.28　　　C.2√7　　　D.10或2√7
错解:A
错解剖析:在应用勾股定理时，要分清哪条边是直角边，哪条边是斜边，不能确定时要分类讨论.
正解:①当6,8都是直角边长时,第三边长为$\sqrt {6^2+8^2}= 10$;
②当8是斜边长时，第三边长为$\sqrt {8^2-6^2}= 2\sqrt 7.$故选D.

答案：

例2★★☆已知△ABC的各边长均为正整数,且AC = 4,BC = 3.若AB是最长边,则AB的长为(　　)
A.5　　　　B.6　　　　C.7　　　　D.5或6
错解:在△ABC中,$AB = \sqrt {AC^2+BC^2}= \sqrt {4^2+3^2}= 5$.故选A.
错解剖析:勾股定理必须在直角三角形中应用，初学者往往会忽略“在直角三角形中”这一前提，乱用勾股定理而出现错误.此题易误认为△ABC一定是直角三角形而出现错解.
正解:根据三角形三边关系知AB应满足1 ＜ AB ＜ 7.
∵AB是最长边，∴4 ＜ AB ＜ 7.
又边长为正整数,∴AB = 5或6.故选D.

答案：

例3★★☆在△ABC中,若AB = 15,AC = 13,高AD = 12,求△ABC的周长.

错解:如图,在Rt△ABD中,
$BD = \sqrt {AB^2-AD^2} = \sqrt {15^2-12^2}= 9.$
在Rt△ACD中,$CD = \sqrt {AC^2-AD^2}= \sqrt {13^2-12^2} = 5.$
∴BC = BD + CD = 9 + 5 = 14.
∴△ABC的周长为AB + AC + BC = 15 + 13 + 14 = 42.
错解剖析:只考虑△ABC是锐角三角形的情况，忽略了△ABC是钝角三角形的情况.
正解:①当△ABC为锐角三角形时,如左栏图,△ABC的周长为42;
②当△ABC为钝角三角形时，如右图，由勾股定理易得BD = 9,CD = 5,
∴BC = BD - CD = 9 - 5 = 4.
∴△ABC的周长为AB + BC + AC = 15 + 4 + 13 = 32.
综上所述,△ABC的周长为42或32.

答案：