《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例10★☆[内江中考]如图,在正方形ABCD中,E是BC上一点,F是CD延长线上一点,且BE=DF,连接AE,AF,EF.

(1)求证:△ABE≌△ADF;
(2)若AE=5,请求出EF的长.

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD,∠ABE=∠ADC=∠ADF=90°.又BE=DF,
∴△ABE≌△ADF(SAS).
(2)解:
∵△ABE≌△ADF,
∴AE=AF=5,∠BAE=∠DAF.
∵∠BAE+∠EAD=90°,
∴∠DAF+∠EAD=90°,即∠EAF=90°.
∴在Rt△AEF中,EF=√AE²+AF²=
　$\sqrt{52+52}$=5$\sqrt{2}$

例11★[舟山中考]如图,等边三角形AEF的顶点E,F分别在矩形ABCD的边BC,CD上,且∠CEF=45°.求证:四边形ABCD是正方形.

答案： 证明:
∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=∠D=∠C=90°.

∵△AEF是等边三角形，

∴AE=AF,∠AEF=∠AFE=60°.

∵∠CEF=45°,
∴∠CFE=∠CEF=45°.
∴∠AEB=∠AFD=180°−45°−60°=75°.
∴△AEB≌△AFD(AAS).
∴AB=AD.
∴矩形ABCD是正方形.

举一反三训练10−1★[乌鲁木齐沙依巴克区期末改编]如图,在正方形ABCD中,对角线AC与
BD相交于点O,DF,AG分别是△OCD 与△ADF的角平分线,AG交BD于点E,连接EF.下列结论:①AG⊥DF;②EF//AB;③AB=AF;④AB=2EF.其中正确的有(　　　)　　　　
A.1个　　　　
B.2个　　　　　　　　　　　
C.3个　　　　
D.4个

答案： C

10−2★如图,正方形ABCD的对角线
AC,BD交于点O,G是CA延长线上任意一点,以线段AG为边作正方形
AEFG,连接BE,DG.
　　　　(1)求证:△EAB≌△GAD;
　　　　(2)若AB=3$\sqrt{2}$,AG=3,求BE的长.
　　　　　　　　　　　

答案：

(1)证明:
∵ 四边形ABCD、四边形AEFG都是正方形，

∴ AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90°,

∴ ∠BAD+∠DAE=∠EAG+∠DAE,

即∠EAB=∠GAD.

在△EAB和△GAD中,

AB=AD,

∠EAB=∠GAD,

{ AE=AG,

∴ △EAB≌△GAD(SAS).

(2)解:
∵ △EAB≌△GAD,
∴ BE=DG.

∵ 四边形ABCD是正方形,AB=3√2,

∴ BD⊥AC,且易得AC=BD= $\sqrt{2}$ AB=6,

∴ ∠D0G=90°,0A=0D= $\frac{1}{2}$ BD=3.

∵ AG=3,

∴ OG=0A+AG=3+3=6.

∴ 在Rt△ODG中,

DG= $\sqrt{OD²+OG²}$ = $\sqrt{3²+6²}$ =3 $\sqrt{5}$ 

∴ BE=DG=3 $\sqrt{5}$

11−1★辽[安阳内黄县期末]如图,四边形
ABCD为正方形,E为线段AC上一点,连接DE,过点E作EF⊥DE,交射线BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.
(1)求证:矩形DEFG是正方形;
(2)若AB=2$\sqrt{2}$,CE=2,求CG的长;
(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数.
　　　

答案：

(1)证明:如图①,过点E分别作EP⊥CD于点P,EQ⊥BC于点Q.

∵ 四边形ABCD为正方形，

∴ ∠BCA=∠DCA,

∴ EQ=EP.

易知∠QEP=∠FED=90°,

∴ ∠QEP−∠FEP=∠FED−∠FEP,

即∠QEF=∠PED.

在△EQF和△EPD中,

∠QEF=∠PED,

{ ∠EQF=∠EPD=90°, EQ=EP,

∴ △EQF≌△EPD(ASA),

∴ EF=ED,

∴ 矩形DEFG是正方形

(2)解:如图②,在Rt△ABC中,易得AC= $\sqrt{2}$ AB=4,

∵ CE=2,
∴ AE=CE.

∵ AD=CD,
∴ DE⊥AC.

又DE⊥EF,

∴ 点F与点C重合

由
(1)知四边形DEFG是正方形，

∴ CG=CE=2.

(3)解:分两种情况讨论:①如图③,当DE与AD的夹角为40°时,

∠DEC=∠DAC+∠ADE=45°+40°=85°.

∵ ∠DEF=90°,

∴ ∠CEF=∠DEF−∠DEC=90°−85°=5°,

∵ ∠ECF=45°,

∴ ∠EFC=180°−∠CEF−∠ECF=130°;

②如图④,当DE与DC的夹角为40°时，令EF与CD的交点为H.

∵ ∠DEF=∠DCF=90°,∠DHE=∠FHC,

∴∠EFC=∠CDE=40°.

综上所述，∠EFC的度数为130°或40°.