《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

2. 利用$\sqrt{a^{2}} = |a|$结合数轴进行化简
例5 [数形结合思想]已知实数$a$，$b$，$c$在数轴上的对应点的位置如图所示，试化简：$\sqrt{a^{2}}+\sqrt{(c - a)^{2}}-\sqrt{(a + b)^{2}}$.

思路分析

解：由数轴可知$b＜a＜0＜c$，则$c - a＞0$，$a + b＜0$.
则原式$ = |a|+|c - a|-|a + b|=-a + c - a+(a + b)=-a + b + c$.
解题策略：先利用“$\sqrt{a^{2}} = |a|$”将原式化为含有绝对值的形式，再根据数轴判断代数式的正负，最后根据绝对值的性质进行化简.

答案：

5 - 1 [呼伦贝尔中考]实数$a$在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简$|a - 1|-\sqrt{(a - 2)^{2}}$的结果是( )

A.3 - 2a
B.-1
C.1
D.2a - 3

答案： D

5 - 2 [信阳新县期末]实数$a$，$b$在数轴上的对应点的位置如图所示，且$|a|＞|b|$，则化简$\sqrt{a^{2}}-|a + b|$的结果为( )

A.2a + b
B.-2a + b
C.b
D.2a - b

答案： C

5 - 3 [遂宁中考]实数$a$，$b$在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简$|a + 1|-\sqrt{(b - 1)^{2}}+\sqrt{(a - b)^{2}}=$ .

答案： 2

例6 已知$a$，$b$，$c$分别是$\triangle ABC$的三边长，则化简$\sqrt{(a - b + c)^{2}}+\sqrt{(a - b - c)^{2}}$的结果是 .
解析：由三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）可知$a - b + c＞0$，$a - b - c＜0$.因此原式$ = |a - b + c|+|a - b - c|=a - b + c - a + b + c = 2c$.
答案：$2c$
解题策略：先根据三角形三边关系判断所要化简的式子中每一部分的正负，再根据绝对值的性质进行化简.

答案： $2c$

6 - 1 若$a$，$b$，$c$为三角形的三边长，则$|a - b - c|-\sqrt{(a + b - c)^{2}}=$ .

答案： $-2a + 2c$

6 - 2 若三角形的三边长分别是2，$m$，5，化简$\sqrt{9 - 6m + m^{2}}-\sqrt{m^{2}-14m + 49}$.

答案： 解：因为三角形的三边长分别是$2$，$m$，$5$，所以$3 ＜ m ＜ 7$，则原式 = $\sqrt{(3 - m)^{2}}-\sqrt{(m - 7)^{2}}=|3 - m|-|m - 7|=m - 3+m - 7 = 2m - 10$。