《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例3★★☆[本溪中考]如图,在四边形ABCD中,AB // CD,AD⊥CD,∠B = 45°,延长CD到点E,使DE = AD,连接AE.

(1)求证:AE = BC;
(2)若AB = 3,CD = 1,求四边形ABCE的面积.
(1)证明:∵AB // CD,
∴∠C + ∠B = 180°.
∵∠B = 45°,∴∠C = 135°.
∵DE = AD,AD⊥CD,∴∠E = 45°.
∴∠E + ∠C = 180°,∴AE // BC.
∴四边形ABCE是平行四边形.
∴AE = BC.
(2)解:∵四边形ABCE是平行四边形，∴CE = AB = 3.
∴AD = DE = CE - CD = 3 - 1 = 2.
∴S四边形ABCE = CE·AD = 3×2 = 6.

答案：

例4.[铜仁中考]如图,D是△ABC 内一点,BD⊥CD,AD=7,BD=4,CD=3,E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC的中点,则四边形EFGH的周长为(　　　)

A.12
B.14　　　　
C.24
D.21

答案： A

例5|★☆☆[福建中考]如图，E,F分别是矩形ABCD的边AB,CD上的点,且DF=BE.求证:AF=CE.

证明:∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=90°,AD=BC.　　　　　　　　　
在△ADF和△CBE中,AD=CB,∠D=∠B,DF=BE,
∴△ADF≌△CBE(SAS).∴AF=CE.
解题策略矩形的性质可以用来证明线段之间的关系.另外矩形中的许多问题可以利用直角三角形或等腰三角形的知识来解决.

答案：

4−1★☆☆如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,点D,E分别是直角边AC,BC的中点,连接DE,则∠CED的度数是(　　　)
　
A.70°　　
　B.60°　　
　C.30°　　
　D.20°

答案： B

4−2★☆☆[株洲中考]如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点,连接BE,过点C作CF//BE,交DE的延长线于点F.若EF=3,则DE的长为________.

答案： $\frac{3}{2}$　[解析]
∵D,E分别是△ABC的边AB,AC 的中点,
∴DE为△ABC的中位线.
∴DE//BC,
DE=$\frac{1}{2}$BC.又CF//BE,
∴四边形BCFE为平行四边形
∴BC=EF=3.
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3}{2}$.

4−3★★☆如图,D是△ABC的边BC的中点,AE平分∠BAC,BE⊥AE于点E,且AB=10cm,DE=2cm,则AC的长为________cm.

答案：
6　[解析]如图,延长AC
　　与BE的延长线交于点F;
　　　　　　　　　　　　　
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=
　　∠FAE.
∵BE⊥AE,
∴∠BEA=∠FEA=90°.又AE=AE,
∴△ABEB△AFE(ASA),
∴AB=AF=
　　10cm,BE=FE.又BD=CD,
∴DE是△BCF的中位线,
∴CF=2DE=4cm,
∴AC=AF−CF=10−4=6(cm).

5−1★☆如图,在矩形ABCD中,对角线
AC,BD交于点O,AE⊥BD于点E.若OE:DE=1:3,AE=$\sqrt{3}$,则BD=______.
　　 　　

答案： 4　[解析]
∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OB=
　　OD.
∵OE;DE=1:3,
∴OE;0D=1:2,
∴OE=
　　$\frac{1}{2}$OB.
∵AE⊥BD,
∴AE垂直平分OB,
∴AB=
　　OA,
∴△ABO是等边三角形，
∴∠A0E=60°,
∴可得∠ADE=30°.在Rt△ADE中,AE=$\sqrt{3}$
　　∠ADE=30°,
∴AD=2AE=2√3.由勾股定理得
DE=　$\sqrt{AD²−AE²}$=　$\sqrt{(2√3)²−(√3)²}$=3;,
∴BD=
　　$\frac{4}{3}$DE=4.

5−2I★☆如图,在矩形ABCD中,AD=4,
AB=8,分别以点B,D为圆心,大于$\frac{1}{2}$BD的长为半径画弧,两弧相交于点E,F,作直线EF分别与CD,BD,AB交于点M,O,N,则MN=________.

答案：
2$\sqrt{5}$　[解析]如图,连接DN;
　　在矩形ABCD中,AD=4,AB=8,
　　　　　　　　　　　　　　
∴BD=　$\sqrt{AB²+AD²}$=　$\sqrt{8+4°}$=
　　4$\sqrt{5}$.根据作图过程可知,MN垂直平分BD,
∴OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{5}$DN=BN,∠DON=90°.
∴AN=AB−BN=AB−DN=8−DN.在Rt△ADN
中,根据勾股定理,得DN²=
　　(8−DN)²+4²,解得DN=5..在Rt△DON中,根据勾股定理,得ON=　$\sqrt{DN−OD}$=　$\sqrt{5²−(2√5)²}$=
　　$\sqrt{5}$
∵CD//AB,
∴∠MDO=∠NBO,∠DMO=
　　∠BNO.又OD=0B,
∴△DMO≌△BNO(AAS).
∴0M=0N=$\sqrt{5}$
∴MN=2$\sqrt{5}$