《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例7 如图①，在△ABC中，O是边AC上一动点，过点O作直线MN // BC. 设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的平分线于点F.
(1)求证：OE = OF. 先假定四边形AECF是矩形，再反推满足的条件.
(2)若CE = 12，CF = 5，求OC的长.
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由.
(1)证明：如图①. ∵ MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的平分线于点F，
∴ ∠2 = ∠5，∠4 = ∠6. ∵ MN // BC，∴ ∠1 = ∠5，∠3 = ∠6. ∴ ∠1 = ∠2，∠3 = ∠4.
∴ OE = OC，OF = OC. ∴ OE = OF.
(2)解：∵ ∠2 = ∠5，∠4 = ∠6，∠2 + ∠4 + ∠5 + ∠6 = 180°，∴ ∠2 + ∠4 = ∠5 + ∠6 = 90°. ∴ △ECF是直角三角形，∠ECF = 90°. ∴ EF = $\sqrt{CE^{2}+CF^{2}}$ = $\sqrt{12^{2}+5^{2}}$ = 13.
由(1)知OE = OF = OC，∴ OC = $\frac{1}{2}$EF = $\frac{13}{2}$.
(3)解：当点O在边AC上运动到AC的中点处时，四边形AECF是矩形. 理由：
如图②，当O为AC的中点时，OA = OC.
∵ OE = OF，∴ 四边形AECF是平行四边形.
由(2)知∠ECF = 90°，∴ □AECF是矩形.
解题策略 在四边形中利用勾股定理求线段长，需要找到相应的直角三角形，在没有已知直角的情况下，可利用平行、角平分线等已知条件进行转化.

答案：

7 - 1 [宝鸡凤翔区期末]如图，P是Rt△ABC中斜边AC上一动点(不与点A，C重合)，分别作PM ⊥ AB于点M，作PN ⊥ BC于点N，连接BP，MN. 若AB = 6，BC = 8，当点P运动时，MN的长最小是( )


A. 1.5
B. 2
C. 4.8
D. 2.4

答案： C 【解析】
∵∠ABC = 90°，AB = 6，BC = 8，
∴AC=$\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$.
∵PM⊥AB，PN⊥BC，∠ABC = 90°，
∴四边形BNPM是矩形，
∴MN = BP.由垂线段最短可得当BP⊥AC时，线段MN的长最小，此时$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC·AB=\frac{1}{2}AC·BP$，即$\frac{1}{2}\times8\times6=\frac{1}{2}\times10·BP$，解得BP = 4.8.故MN的长最小是4.8.

7 - 2 如图，在矩形ABCD中，AB = 6，BC = 8，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从点A，C同时出发，相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t s，当点E到达点C后两点同时停止运动，G，H分别是AB，CD的中点.
(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；
(2)当t为何值时，四边形EGFH为矩形？

答案：

(1)证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB = CD，AB//CD，∠B = 90°.
∴∠GAF = ∠HCE.
∵G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG=$\frac{1}{2}$AB，CH=$\frac{1}{2}$CD.
∴AG = CH.
∵AE = CF，
∴AF = CE.
在△AFG和△CEH中，
$\begin{cases}AG = CH,\\\angle GAF=\angle HCE,\\AF = CE,\end{cases}$
∴△AFG≌△CEH(SAS).
∴GF = HE，∠AFG = ∠CEH.
∴GF//HE.
∴四边形EGFH是平行四边形.
(2)解：如图，连接GH.
由
(1)可知四边形EGFH是平行四边形.
∵G，H分别是矩形ABCD的边AB，CD的中点，
∴易得GH = BC = 8.
∴当EF = GH = 8时，▱EGFH是矩形.
根据题意，得AE = CF = t.
在Rt△ABC中，
AC=$\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$.
分两种情况：
①点E，F相遇前，EF = 10 - 2t = 8，解得t = 1；
②点E，F相遇后，EF = 10 - 2(10 - t)=8，解得t = 9.
综上所述，当t为1或9时，四边形EGFH为矩形.