《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例9 [易错题]已知$y = y_1+y_2$，$y_1$与$x$成正比例，$y_2$与$x - 1$成正比例，且当$x = 3$时，$y = 4$；当$x = 1$时，$y = 2$.求$y$关于$x$的函数解析式.
解：设$y_1=mx$（$m\neq0$），$y_2=n(x - 1)$（$n\neq0$），则$y = y_1+y_2=(m + n)x - n$.根据题意，得$\begin{cases}3(m + n)-n = 4 \\ m + n - n = 2 \end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 2 \\ n = - 1 \end{cases}$.
因此，$y$关于$x$的函数解析式是$y = x + 1$.
易错提醒 （1）两个正比例函数，它们的比例系数不一定相同.（2）本题$y_2$与$x - 1$成正比例，设$y_2$的函数解析式时要将$x - 1$看成一个整体.

答案：

例10 某商品的售价$y$（单位：元）与质量$x$（单位：kg）之间的关系如下表：

（1）由上表写出售价$y$随质量$x$变化的函数解析式，并画出函数的图象；
（2）购买5.5 kg这种商品应付多少元？
解：（1）由表中数据观察到质量$x$每增加1 kg，售价$y$就增加2.4元，这样的变化规律可以表示为$y = 2.4x(x\geq0)$.这个函数的图象如图所示.

（2）当$x = 5.5$时，$y = 2.4×5.5 = 13.2$，所以购买5.5 kg这种商品应付13.2元.
解题策略 （1）列函数解析式时，主要通过观察表格中的$x$与$y$的变化规律来列.（2）画函数图象时一定要注意自变量的取值范围.

答案：

9-1 已知$y = y_1-y_2$，$y_1$与$x$成正比例，$y_2$与$x - 2$成正比例，且当$x = 1$时，$y = 0$；当$x = - 3$时，$y = 4$.
（1）求$y$关于$x$的函数解析式；
（2）当$x = 3$时，求$y$的值.

答案： 解：
(1)设$y_{1}=k_{1}x(k_{1}\neq0)$，$y_{2}=k_{2}(x - 2)(k_{2}\neq0)$，
则$y = y_{1}-y_{2}=(k_{1}-k_{2})x + 2k_{2}$.
由题意得$\begin{cases}k_{1}-k_{2}+2k_{2}=0\\-3(k_{1}-k_{2})+2k_{2}=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_{1}=-\frac{1}{2}\\k_{2}=\frac{1}{2}\end{cases}$.
所以$y = - x + 1$.
(2)当$x = 3$时，$y = - 3 + 1 = - 2$.

举一反三训练
10-1 甲、乙两人在一次赛跑中，路程$y$（单位：m）与时间$x$（单位：s）之间的关系如图所示，回答下列问题：
（1）全程多少米？
（2）谁先到达终点？
（3）乙在这次赛跑中的速度是多少？
（4）分别求甲、乙两人赛跑过程中路程$y$关于时间$x$的函数解析式.

答案： 解：
(1)全程$100$m.
(2)甲先到达终点.
(3)乙在这次赛跑中的速度为$100\div12.5 = 8(m/s)$.
(4)设甲在这次赛跑过程中路程$y$关于时间$x$的函数解析式为$y = k_{1}x(k_{1}\neq0)$.
把$x = 12$，$y = 100$代入，
得$12k_{1}=100$，解得$k_{1}=\frac{25}{3}$.
所以甲在这次赛跑过程中路程$y$关于时间$x$的函数解析式为$y=\frac{25}{3}x(0\leqslant x\leqslant12)$.
同理，可得乙在这次赛跑过程中路程$y$关于时间$x$的函数解析式为$y = 8x(0\leqslant x\leqslant12.5)$.