《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例7 小明从甲地匀速跑步到乙地，在途中因故停留了一段时间后，仍按原速跑步.小强骑自行车比小明晚出发一段时间，以400 m/min的速度匀速从乙地到甲地，两人距离乙地的路程$y$（单位：m）与小明出发后所用时间$x$（单位：min）之间的函数图象如图所示.
（1）求小明跑步的速度；
（2）求小明停留结束后$y$关于$x$的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）求小明与小强相遇时$x$与$y$的值.
解：（1）$(1200 - 600)\div4 = 150$（m/min）.
答：小明跑步的速度是150 m/min.
（2）$600\div150 = 4$（min），则点$D$的横坐标为$6 + 4 = 10$，则点$D$的坐标为$(10,0)$.
设小明停留结束后$y$关于$x$的函数解析式是$y = kx + b$（$k\neq0$）.根据题意，得$\begin{cases}6k + b = 600\\10k + b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -150\\b = 1500\end{cases}$.
即小明停留结束后$y$关于$x$的函数解析式是$y = -150x + 1500(6＜x\leq10)$.
（3）小强从乙地到甲地所用的时间为$1200\div400 = 3$（min），则点$F$的横坐标为$6 + 3 = 9$，则点$F$的坐标为$(9,1200)$.设线段$EF$对应的函数解析式为$y = mx + n$（$m\neq0$），根据题意，得$\begin{cases}6m + n = 0\\9m + n = 1200\end{cases}$.
解得$\begin{cases}m = 400\\n = -2400\end{cases}$.即线段$EF$对应的函数解析式为$y = 400x - 2400(6\leq x\leq9)$.
联立$\begin{cases}y = -150x + 1500\\y = 400x - 2400\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = \frac{78}{11}\\y = \frac{4800}{11}\end{cases}$.
答：相遇时$x$的值为$\frac{78}{11}$，$y$的值为$\frac{4800}{11}$.
解题策略 本题两人相遇时，他们距乙地路程相等，即$y$值相同，故相遇点就是平面直角坐标系中两图象的交点，往往转化为求方程组的解.

答案：

7 - 1 快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶，途中快车休息了1.5 h，慢车没有休息.设慢车行驶的时间为$x$（单位：h），快车行驶的路程为$y_1$（单位：km），慢车行驶的路程为$y_2$（单位：km）.如图中折线$OAEC$表示$y_1$与$x$之间的函数关系，线段$OD$表示$y_2$与$x$之间的函数关系.请解答下列问题：
（1）求快车和慢车的速度；
（2）求图中线段$EC$所表示的$y_1$关于$x$的函数解析式；
（3）线段$OD$与线段$EC$相交于点$F$，求出点$F$的坐标，并解释点$F$的实际意义.

答案： 解：
(1)快车的速度为 $180\div2 = 90(km/h)$，慢车的速度为 $180\div3 = 60(km/h)$.
(2)由题意可得，点 $E$ 的横坐标为 $2 + 1.5 = 3.5$，则点 $E$ 的坐标为 $(3.5,180)$.
因为 $(360 - 180)\div90 = 2(h)$，$3.5+2 = 5.5$，所以点 $C$ 的坐标为 $(5.5,360)$.
设线段 $EC$ 所表示的 $y_1$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y_1 = kx + b(k\neq0)$，则 $\begin{cases}3.5k + b = 180\\5.5k + b = 360\end{cases}$.
解方程组得 $\begin{cases}k = 90\\b=-135\end{cases}$.
则线段 $EC$ 所表示的 $y_1$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y_1 = 90x - 135(3.5\leq x\leq5.5)$.
(3)$360\div60 = 6(h)$，故 $D(6,360)$，易得线段 $OD$ 所表示的函数解析式为 $y_2 = 60x(0\leq x\leq6)$.
设点 $F$ 的横坐标为 $a$，则 $60a = 90a - 135$，解得 $a = 4.5$. 因为 $60\times4.5 = 270$，所以点 $F$ 的坐标为 $(4.5,270)$.
点 $F$ 的实际意义是当慢车行驶 $4.5h$ 时，快车与慢车行驶的路程相等，为 $270km$.