《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例2 计算：
(1)$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$；
(2)$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{32}}$；
(3)$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5a}}$。
解：(1)$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$；
(2)$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{32}}=\frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{3}\times\sqrt{2}}{4\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{4\times2}=\frac{\sqrt{6}}{4}$；
(3)$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5a}}=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{5a}}{\sqrt{5a}\cdot\sqrt{5a}}=\frac{\sqrt{10a}}{5a}$。
知识点睛 对于分母形如$n\sqrt{a}$的式子，分子、分母同乘$\sqrt{a}$可使分母不含根号。

答案：

例3 化简：(1)$\sqrt{5\frac{4}{9}}$；(2)$\sqrt{\frac{-5}{-3}}$；(3)$\sqrt{\frac{121b^{5}}{16a^{2}}}(a＞0)$。
解：(1)$\sqrt{5\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{49}{9}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{9}}=\frac{7}{3}$；
(2)$\sqrt{\frac{-5}{-3}}=\sqrt{\frac{5}{3}}=\sqrt{\frac{5\times3}{3\times3}}=\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{15}}{3}$；
(3)$\sqrt{\frac{121b^{5}}{16a^{2}}}=\frac{\sqrt{121b^{4}\cdot b}}{\sqrt{16a^{2}}}=\frac{11b^{2}\sqrt{b}}{4a}$。
解题策略 (1)若被开方数是带分数，要先化为假分数；(2)若被开方数的分母是完全平方数(式)，则直接化简；若被开方数的分母不是完全平方数(式)，则分子、分母同乘一个不为0的整式，使分母变成一个完全平方数(式)，再化简。

答案：

2-1 化简：$\frac{6}{\sqrt{6}}=$______；$\frac{1}{\sqrt{12}}=$______；$\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{5}}=$______。

答案： $\sqrt{6}$ $\frac{\sqrt{3}}{6}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$

2-2 两种方式化简$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$：①$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{2}\times\sqrt{7}}{\sqrt{7}\times\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{14}}{7}$；②$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}=\sqrt{\frac{2}{7}}=\sqrt{\frac{2\times7}{7\times7}}=\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{49}}=\frac{\sqrt{14}}{7}$。其中正确的是__________。(填序号)

答案： ①②

3-1 下列各式成立的是( )
A.$\sqrt{\frac{-2}{-5}}=\sqrt{\frac{2}{5}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$
B.$\sqrt{\frac{-7}{-6}}=\frac{\sqrt{-7}}{\sqrt{-6}}$
C.$\sqrt{9\frac{1}{4}}=\sqrt{9}\times\sqrt{\frac{1}{4}}$
D.$\sqrt{\frac{-7}{-9}}=\frac{1}{3}\sqrt{-7}$

答案： A

3-2 化简：(1)$\sqrt{2\frac{7}{9}}$；
(2)$\sqrt{\frac{81}{25x^{2}}}(x＞0)$。

答案： 解：
(1)$\sqrt{2\frac{7}{9}}=\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{9}}=\frac{5}{3}$；
(2)$\sqrt{\frac{81}{25x^{2}}}=\frac{\sqrt{9^{2}}}{\sqrt{(5x)^{2}}}=\frac{9}{5x}$。