《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例6 ★★☆如图，在四边形ABCD中，AB = CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N. 求证：∠BME = ∠CNE.
证明：如图，连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF.∵E，F分别是BC，AD的中点，
∴HF//AB，HF = $\frac{1}{2}$AB，HE//CD，HE = $\frac{1}{2}$CD.
∴∠HFE = ∠BME，∠HEF = ∠CNE.
∵AB = CD，∴HF = HE.
∴∠HFE = ∠HEF.∴∠BME = ∠CNE.
解题策略 当含有多个中点时，往往需要适当地添加辅助线，如延长中线、构造中位线等，然后借助中线或中位线的有关性质解决问题.

答案：

5-1 ★★☆如图，在□ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE = CF，BE和AF交于点M，CE和DF交于点N，连接MN.
求证：AD = 2MN.

答案：
证明：如图，连接EF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD = BC.
∵DE = CF，
∴AE = BF，
∴四边形ABFE和四边形CDEF都是平行四边形，
∴AM = MF，DN = NF，
∴MN是△ADF的中位线，
∴MN = $\frac{1}{2}$AD，即AD = 2MN.

5-2 ★★☆[沈阳沈北新区期末]如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点. 求证：AF = $\frac{1}{2}$CF.

答案：
证明：如图，取BF的中点G，连接DG.
∵AD是△ABC的中线，
∴D为BC的中点.
又G为BF的中点，
∴DG是△BCF的中位线，
∴DG//CF，DG = $\frac{1}{2}$CF，
∴∠EAF = ∠EDG.
∵E为AD的中点，
∴AE = DE.
在△AEF和△DEG中，$\begin{cases}∠EAF = ∠EDG \\ AE = DE \\ ∠AEF = ∠DEG\end{cases}$，
∴△AEF≌△DEG（ASA），
∴AF = DG，
∴AF = $\frac{1}{2}$CF.

6-1 ★★☆如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC = BD，E，F分别是边AD，BC的中点，EF分别交AC，BD于点G，H.求证：∠OGH = ∠OHG.

答案：
证明：如图，取边CD的中点M，连接EM，FM.
∵M，F分别是CD，BC的中点，
∴MF是△BCD的中位线.
∴MF//BD，MF = $\frac{1}{2}$BD.
同理，ME//AC，ME = $\frac{1}{2}$AC.
∵AC = BD，
∴ME = MF.
∴∠MEF = ∠MFE.
∵MF//BD，
∴∠MFE = ∠OHG.
∵ME//AC，
∴∠MEF = ∠OGH.
∴∠OGH = ∠OHG.