《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例5 如图，在△ABC中，AB = AC，AD是△ABC的中线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE // AD，交AN于点E，连接DE. 求证：四边形ADCE是矩形.
思路分析
$\begin{matrix}AB = AC\\AD是BC边上的中线\end{matrix}\to\begin{matrix}\angle ADC = 90^{\circ}\\AD平分\angle BAC\\AN平分\angle CAM\end{matrix}\to\begin{matrix}CE// AD\\\angle DAE = 90^{\circ}\end{matrix}\to\begin{matrix}\angle AEC = 90^{\circ}\end{matrix}\to$四边形ADCE是矩形
证明：在△ABC中，∵ AB = AC，AD是BC边上的中线，∴ AD ⊥ BC，∠BAD = ∠CAD，
∴ ∠ADC = 90°.
∵ AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴ ∠MAN = ∠CAN，
∴ 易得∠DAE = 90°. 互为邻补角的两个角的平分线互相垂直.
∵ CE // AD，∴ ∠AEC + ∠DAE = 180°，
∴ ∠AEC = 90°，∴ 四边形ADCE是矩形.
解题策略 在一个四边形中如果能够比较容易地证得两个角是直角，那么可以考虑证明另外两个角中的一个是直角，从而证得该四边形为矩形.

答案：

5 - 1 如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，D是AB的中点，DF，DE分别是△BDC，△ADC的角平分线. 求证：四边形DECF是矩形.

答案： 证明：
∵∠ACB = 90°，D是AB的中点，
∴AD = CD = BD.
∵DE是△ADC的角平分线，
∴DE⊥AC.
∴∠DEC = 90°.
同理得∠CFD = 90°.
又∠ACB = 90°，
∴四边形DECF是矩形.

5 - 2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，分别以AC，BC为底边，向△ABC外部作等腰三角形ADC和等腰三角形CEB，M为AB的中点，连接DM，EM，分别与AC，BC交于点F和点G. 求证：四边形MFCG是矩形.

答案：
证明：如图，连接CM.
在Rt△ABC中，
∵∠ACB = 90°，M为AB的中点，
∴CM = AM = BM=$\frac{1}{2}$AB.
∴点M在线段AC的垂直平分线上.
∵在等腰三角形ADC中，AC为底边，
∴AD = CD.
∴点D在线段AC的垂直平分线上，
∴DM垂直平分AC，
∴∠MFC = 90°.
同理∠MGC = 90°.
又∠ACB = 90°，
∴四边形MFCG是矩形.