《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例7 ★★☆ 如图，在正方形$ABCD$中，点$E$在边$BC$上，点$F$在$CD$的延长线上，$BE = DF$. 作平行线构造全等三角形.

(1) 求证：$AE = AF$，$AE\perp AF$；
(2) 若$BD$与$EF$相交于点$M$，连接$AM$，试判断$AM$与$EF$的数量关系和位置关系，并说明理由.
(1) 证明：$\because$四边形$ABCD$为正方形，$\therefore\angle ABE=\angle BAD=\angle ADC=\angle ADF = 90^{\circ}$，$AB = AD$. 又$BE = DF$，$\therefore\triangle ABE\cong\triangle ADF(SAS)$，$\therefore AE = AF$，$\angle BAE=\angle DAF$，$\therefore\angle DAF+\angle EAD=\angle BAE+\angle EAD$，即$\angle EAF=\angle BAD = 90^{\circ}$，$\therefore AE\perp AF$.
(2) 解：$AM=\frac{1}{2}EF$，$AM\perp EF$. 理由如下：
如图，过点$E$作$EN// CD$，交$BD$于点$N$，$\therefore\angle MNE=\angle MDF$，$\angle MEN=\angle MFD$，$\angle NEB=\angle C = 90^{\circ}$.
$\because$四边形$ABCD$为正方形，$\therefore\angle NBE = 45^{\circ}$，$\therefore\angle BNE = 90^{\circ}-\angle NBE = 45^{\circ}$，$\therefore\angle NBE=\angle BNE$，$\therefore BE = NE$.
又$BE = DF$，$\therefore NE = DF$，$\therefore\triangle MNE\cong\triangle MDF(ASA)$，$\therefore EM = FM$. $\because AE = AF$，$\angle EAF = 90^{\circ}$，等腰三角形“三线合一”$\therefore AM\perp EF$，$AM=\frac{1}{2}EF$.
解题策略 根据正方形的性质可以得到许多边、角的等量关系，故正方形与全等三角形经常结合在一起考查，此时充分利用正方形的性质是解题的关键.

答案：

7 - 1 ★★☆ 如图，$P$是正方形$ABCD$的对角线$BD$上一点，$PE\perp CD$，$PF\perp BC$，垂足分别为$E$，$F$，连接$AP$，$EF$.
(1) 求证：$AP = EF$；
(2) 若$\angle BAP = 60^{\circ}$，$PD=\sqrt{2}$，求$EF$的长.

答案：
（1）证明：如图，连接CP.
∵ 四边形ABCD是正方形，

∴ ∠BCD = 90°，AB = CB，∠ABP = ∠CBP = 45°.
∵ PE⊥CD，PF⊥BC，
∴ ∠PEC = ∠PFC = 90°，
∴ 四边形PFCE是矩形，
∴ EF = CP.
在△ABP和△CBP中，
$\begin{cases}AB = CB,\\\angle ABP = \angle CBP,\\BP = BP,\end{cases}$
∴ △ABP≌△CBP（SAS），
∴ AP = CP.
∴ AP = EF.
（2）解：由（1）知△ABP≌△CBP，
∴ ∠BCP = ∠BAP = 60°，
∴ ∠PCE = ∠BCD - ∠BCP = 90° - 60° = 30°.
∵ 四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴ ∠PDE = 45°.
∵ PE⊥CD，
∴ ∠PED = 90°，
∴ ∠DPE = ∠PDE = 45°，
∴ DE = PE.
在Rt△PDE中，PE² + DE² = PD²，
即2PE² = ($\sqrt{2}$)²，
∴ PE = 1.
在Rt△PCE中，
∵ ∠PCE = 30°，
∴ CP = 2PE = 2.
由（1）知EF = CP，
∴ EF = 2.

7 - 2 ★★★ [大冶期末改编]如图，在正方形$ABCD$中，$E$是$CD$边上任意一点，连接$AE$，过点$B$作$BF\perp AE$于点$F$，交$AD$于点$H$，过点$D$作$DG\perp AE$于点$G$.
(1) 求证：$BF - DG = FG$；
(2) 若$E$为$CD$的中点，连接$DF$，试判断$DF$，$FH$，$EF$之间存在什么数量关系，并说明理由.

答案：
（1）证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB = DA，∠BAD = 90°，
∴ ∠BAF + ∠DAG = 90°.
∵ AE⊥BH，DG⊥AE，
∴ ∠AFB = ∠DGA = 90°，
∴ ∠DAG + ∠ADG = 90°，
∴ ∠BAF = ∠ADG，
∴ △AFB≌△DGA（AAS），
∴ AF = DG，BF = AG，
∴ BF - DG = AG - AF = FG.
（2）解：EF - FH = $\frac{\sqrt{2}}{2}$DF. 理由如下：
如图，连接HG.
由（1）知△AFB≌△DGA，

∴ ∠ABH = ∠DAE，BF = AG，AF = DG.
∵ BA = AD，∠BAH = ∠ADE = 90°，
∴ △BAH≌△ADE（ASA），
∴ BH = AE，AH = DE.
∵ E为CD的中点，
∴ DE = $\frac{1}{2}$CD = $\frac{1}{2}$AD，
∴ AH = $\frac{1}{2}$AD，即H是AD的中点.
∵ ∠AGD = 90°，
∴ HG = AH = $\frac{1}{2}$AD.
∵ FH⊥AG，
∴ AF = FG = DG.
在Rt△DGF中，DF² = DG² + FG² = 2FG².
∵ BH - BF = AE - AG，
∴ FH = GE.
∴ DF² = 2(EF - GE)² = 2(EF - FH)²，
∴ EF - FH = $\frac{\sqrt{2}}{2}$DF.