《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例6 [教材P44练习T2变式题]如图,在□ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O的一条直线分别交AD,BC于点E,F.求证:AE = CF.

思路分析

证明：∵ □ABCD的对角线AC,BD交于点O,
∴ AO = CO,AD//BC.
∴ ∠EAO = ∠FCO.
在△AOE和△COF中,
$\begin{cases}∠EAO = ∠FCO, \\AO = CO, \\∠AOE = ∠COF\end{cases}$
∴ △AOE ≌ △COF(ASA).
∴ AE = CF.

答案：

6-1 如图,在□ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,BE ⊥ AC,DF ⊥ AC,垂足分别为E,F.求证:OE = OF.

答案： 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OB = OD.
∵ BE⊥AC，DF⊥AC，
∴ ∠OEB = ∠OFD = 90°.
又∠BOE = ∠DOF，
∴ △BOE≌△DOF(AAS).
∴ OE = OF.

6-2 如图,□ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在AC上,且AE = CF.求证:BE = DF.

答案： 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD.
∵ AE = CF，
∴ OA - AE = OC - CF，即OE = OF.
在△BEO和△DFO中，$\begin{cases}OB = OD \\ \angle BOE = \angle DOF \\ OE = OF\end{cases}$，
∴ △BEO≌△DFO(SAS).
∴ BE = DF.