《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

1-3 [宝鸡扶风县期末]如图，在$\square ABCD$中，$E$，$F$分别为$AB$，$CD$的中点，连接$DE$，$BF$，$BD$.若$AD\perp BD$，则四边形$BFDE$是什么特殊四边形？请证明你的结论.

答案： 解：四边形$BFDE$是菱形. 证明：
$\because AD\perp BD$，$E$为$AB$的中点，
$\therefore DE = BE = \frac{1}{2}AB$.
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore CD// AB$，$CD = AB$.
$\because F$为$CD$的中点，
$\therefore DF = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}AB$，
$\therefore DF = BE$.
又$DF// BE$，
$\therefore$四边形$BFDE$是平行四边形.
$\because DE = BE$，
$\therefore\square BFDE$是菱形.

2-1 [黔东南州中考]如图，矩形$ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$DE// AC$，$CE// BD$.若$AC = 10$，则四边形$OCED$的周长是__________.

答案： 20

2-2 如图，$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，$DE// AC$交$AB$于点$E$，$DF// AB$交$AC$于点$F$，$AD$交$EF$于点$O$，则$\angle AOF =$__________$^{\circ}$.

答案：
90　[解析]如图.
∵$DE// AC$，$DF// AB$，
∴四边形$AEDF$为平行四边形，$\angle 2 = \angle 3$.
∵$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，
∴$\angle 1 = \angle 2$，
∴$\angle 1 = \angle 3$，
∴$AE = DE$.
∴$\square AEDF$为菱形，
∴$AD\perp EF$，
∴$\angle AOF = 90^{\circ}$.

2-3 如图，在四边形$ABCD$中，$AB// CD$，$AB = AD$，对角线$AC$，$BD$交于点$O$，$AC$平分$\angle BAD$.求证：四边形$ABCD$是菱形.

答案： 证明：$\because AB// CD$，
$\therefore \angle BAC = \angle DCA$.
$\because AC$平分$\angle BAD$，
$\therefore \angle BAC = \angle DAC$，
$\therefore \angle DCA = \angle DAC$，
$\therefore CD = AD$.
$\because AB = AD$，$\therefore AB = CD$.
$\because AB// CD$，
$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形.
又$AB = AD$，
$\therefore\square ABCD$是菱形.

例2 [绵阳期末]如图，在四边形$ABCD$中，$AD// BC$，对角线$BD$垂直平分对角线$AC$，垂足为$O$.
(1)求证：四边形$ABCD$是菱形；
(2)若$\angle DBC = 30^{\circ}$，$BC = 2$，求四边形$ABCD$的面积.


(1)证明：$\because AD// BC$，$\therefore \angle ADO = \angle CBO$.
$\because$对角线$BD$垂直平分对角线$AC$，
$\therefore OA = OC$.
又$\angle AOD = \angle COB$，
$\therefore \triangle ADO\cong\triangle CBO(AAS)$，
$\therefore AD = CB$，
$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形.
又$BD\perp AC$，
$\therefore \square ABCD$是菱形.

(2)解：$\because BD\perp AC$，$\angle DBC = 30^{\circ}$，$BC = 2$，
$\therefore OC = \frac{1}{2}BC = 1$，$OB = \sqrt{BC^{2} - OC^{2}} = \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3}$，
$\therefore$菱形$ABCD$的面积$ = 4S_{\triangle BOC} = 4\times\frac{1}{2}OB\cdot OC = 4\times\frac{1}{2}\times\sqrt{3}\times1 = 2\sqrt{3}$.

答案：