《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

2.运用整体思想化简求值
例5 [教材P15习题16.3T6变式题]已知$a=\sqrt{7}+2$，$b=\sqrt{7}-2$，求下列各式的值：
(1)$a^{2}b+ab^{2}$；(2)$a^{2}-2ab+b^{2}$；(3)$a^{2}-b^{2}$.
解：因为$a=\sqrt{7}+2$，$b=\sqrt{7}-2$，
所以$ab=(\sqrt{7}+2)(\sqrt{7}-2)=(\sqrt{7})^{2}-2^{2}=7 - 4=3$，
$a + b=(\sqrt{7}+2)+(\sqrt{7}-2)=\sqrt{7}+2+\sqrt{7}-2=2\sqrt{7}$，
$a - b=(\sqrt{7}+2)-(\sqrt{7}-2)=\sqrt{7}+2-\sqrt{7}+2=4$.
(1)$a^{2}b+ab^{2}=ab(a + b)=3\times2\sqrt{7}=6\sqrt{7}$.
(2)$a^{2}-2ab+b^{2}=(a - b)^{2}=4^{2}=16$.
(3)$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)=2\sqrt{7}\times4=8\sqrt{7}$.
解题策略 根据$a$，$b$的值的特殊结构，先计算出$ab$，$a + b$，$a - b$的值，再将所求代数式进行变形(因式分解或乘法公式)，最后整体代入计算.
常用到的式子有：
①$a^{2}b+ab^{2}=ab(a + b)$；
②$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab=(a - b)^{2}+2ab$；
③$a^{2}+ab+b^{2}=(a + b)^{2}-ab=(a - b)^{2}+3ab$；
④$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{(a + b)^{2}-2ab}{ab}=\frac{(a - b)^{2}+2ab}{ab}$等.

答案：

5 - 1 [教材P15习题16.3T8变式题][江油期中]已知$a-\frac{1}{a}=2\sqrt{2}$，那么$a+\frac{1}{a}$的值是( )
A.$2\sqrt{3}$
B.$\pm2\sqrt{3}$
C.$-2\sqrt{3}$
D.$\pm\sqrt{6}$

答案： B　[解析]因为$a-\frac{1}{a}=2\sqrt{2}$，所以$(a-\frac{1}{a})^{2}=8$，即$a^{2}+\frac{1}{a^{2}} = 10$。所以$a^{2}+2+\frac{1}{a^{2}} = 12$，即$(a+\frac{1}{a})^{2}=12$。所以$a+\frac{1}{a}=\pm2\sqrt{3}$。

5 - 3 [教材P19复习题16T6变式题]已知$x=2\sqrt{2}+1$，求代数式$x^{3}-2x^{2}-7x+1000$的值.

答案： 解:因为$x = 2\sqrt{2}+1$，所以$x - 1 = 2\sqrt{2}$。
所以$(x - 1)^{2}=8$。
所以$x^{3}-2x^{2}-7x + 1000=x(x - 1)^{2}-8x + 1000=8x-8x + 1000=1000$。