《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

题型四　利用几何图形的性质求一次函数的解析式
例5 如图，在平面直角坐标系中，已知点$A(-1,0)$，$B(0,3)$，直线$BC$交坐标轴于点$B$，$C$，且$\angle CBA = 45^{\circ}$，点$M$在直线$BC$上，且$AM\perp AB$，则直线$BC$的解析式为________.

思路分析
构造辅助线 一线三直角模型 求点$M$的坐标
$MN\perp AC$ $\triangle AMN\cong\triangle BAO$ $MN = AO$，$AN = BO$
解析：如图，过点$M$作$MN\perp AC$于点$N$.因为点$A(-1,0)$，$B(0,3)$，所以$AO = 1$，$BO = 3$.因为$\angle CBA = 45^{\circ}$，$AM\perp AB$，所以$\triangle ABM$是等腰直角三角形，所以$AM = BA$.因为$\angle NAM+\angle BAO = 90^{\circ}$，$\angle BAO+\angle OBA = 90^{\circ}$，所以$\angle NAM = \angle OBA$.又$\angle ANM = \angle BOA = 90^{\circ}$，所以$\triangle AMN\cong\triangle BAO(AAS)$，所以$MN = AO = 1$，$AN = BO = 3$，所以$ON = AN + AO = 4$，所以$M(-4,1)$.设直线$BC$的解析式为$y = kx + b$，把$M(-4,1)$，$B(0,3)$代入，可求得$k = 0.5$，$b = 3$，所以直线$BC$的解析式为$y = 0.5x + 3$.
答案：$y = 0.5x + 3$

答案：

5 - 1[南充期末]如图，在平面直角坐标系中，矩形$OABC$的两邻边在坐标轴上，顶点$B(6,4)$，经过边$BC$上一点$P(4,m)$的直线将矩形面积平分，则这条直线的解析式为________.

答案： y=2x−4　[解析]因为矩形OABC的两邻边在坐标轴上,顶点B(6,4),所以矩形对角线的交点坐标为(3,2).因为P(4,m)是BC边上一点，BC//OA,所以P(4,4).设这条直线的解析式为y=kx+b.因为经过矩形对角线交点的直线将矩形面积平分,所以把(4,4),(3,2)代入y=kx+b,得$\begin{cases}4k + b = 4\\3k + b = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 2\\b = -4\end{cases}$，所以这条直线的解析式为y=2x−4.

5 - 2[咸宁咸安区期末]如图，$O$是坐标原点，菱形$OABC$的顶点$A$的坐标为$(3,4)$，顶点$C$在$x$轴的正半轴上，则$\angle AOC$的平分线所在直线的解析式为________.

答案：
y=$\frac{1}{2}$x　[解析]如图,
　　　　　　　　　　 延长BA交y轴于点D,易知BD⊥y轴.
　　因为点A的坐标为(3,4),所以AD=3,OD=4,所以$AO=\sqrt{AD^{2}+OD^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$. 又四边形OABC是菱形,所以AB=AO=5,所以BD=AD + AB=3 + 5 = 8,所以B(8,4).设∠AOC的平分线所在直线的解析式为y=kx.因为在菱形OABC中，∠AOC的平分线所在直线经过点B,所以8k=4,解得k=$\frac{1}{2}$，所以所求直线的解析式为$y = \frac{1}{2}x$.

5 - 3[呼和浩特中考改编]在平面直角坐标系中，已知点$A(3,0)$，$B(0,4)$.以$AB$为一边在第一象限作正方形$ABCD$，则对角线$BD$所在直线的解析式为________.

答案：
y=−$\frac{1}{7}$x+4　[解析]如图,
　　过点D作DH⊥x轴于点H.
　　　　　　　　　　　 因为点A(3,0),B(0,4),
　　所以AO=3,BO=4.因为四边形ABCD为正方形,所以AB=DA,∠BAD=90°.因为∠ABO+∠OAB=90°,∠OAB+∠DAH=90°,所以∠ABO=∠DAH;在△ABO和△DAH中,$\begin{cases}\angle AOB=\angle DHA = 90^{\circ}\\\angle ABO=\angle DAH\\AB = DA\end{cases}$，所以△ABO≌△DAH (AAS),所以AH=BO=4,DH=AO=3,所以OH=AO + AH=7,所以D(7,3).设对角线BD所在直线的解析式为y=kx+b,把D(7,3),B(0,4)分别代入,得$\begin{cases}7k + b = 3\\b = 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -\frac{1}{7}\\b = 4\end{cases}$，所以对角线BD所在直线的解析式为$y = -\frac{1}{7}x + 4$.

5 - 4如图，直线$AB$与坐标轴相交于点$A$，$B$，将$\triangle AOB$沿直线$AB$翻折到$\triangle ACB$的位置，当点$C$的坐标为$C(3,\sqrt{3})$时，直线$AB$的解析式是________.

答案：
y=−$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$　[解析]如图，
　　过点C分别作
　　　　　　　　　　
CD⊥x轴于点D,CE⊥y轴于点E,易知四边形ODCE是矩形.由折叠知OA=CA,OB=CB.因为C(3,$\sqrt{3}$),所以OD=CE=3,CD=OE=$\sqrt{3}$.设OB=CB=m,则BD=3−m.在Rt△BCD中,由勾股定理得BC²=BD²+CD²,即m²=(3−m)²+($\sqrt{3}$)²,解得m=2,所以B(2,0).设OA=CA=n,则AE=n−$\sqrt{3}$.在Rt△ACE中,由勾股定理得AC²=AE²+CE²,即n²=(n−$\sqrt{3}$)²+3²,解得n=2$\sqrt{3}$,所以A(0,2$\sqrt{3}$).设直线AB的解析式为y=kx+b,则$\begin{cases}b = 2\sqrt{3}\\2k + b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -\sqrt{3}\\b = 2\sqrt{3}\end{cases}$，所以直线AB的解析式为$y = -\sqrt{3}x + 2\sqrt{3}$.