《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例2 计算：
(1)$(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)+\sqrt{(1 - \sqrt{3})^{2}}$；
(2)$(2\sqrt{5}-5\sqrt{2})(2\sqrt{5}+5\sqrt{2})-(\sqrt{5}-\sqrt{2})^{2}$.
解：(1)原式$=3 - 4+\sqrt{3}-1=\sqrt{3}-2$；
(2)原式$=(2\sqrt{5})^{2}-(5\sqrt{2})^{2}-(5 - 2\sqrt{10}+2)=20 - 50 - 7+2\sqrt{10}=-37+2\sqrt{10}$.

答案：

例3 已知$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2},y=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，求下列各式的值：
(1)$x^{2}-xy + y^{2}$；
(2)$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}+2$.
分析：先求出$x + y$与$xy$的值，再把原式化为与$x + y$和$xy$有关的形式，然后整体代入求值. 有时用$x - y$更简便，根据情况选用.
解：因为$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2},y=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
所以$x + y=\sqrt{5},xy = 1$.
(1)原式$=(x + y)^{2}-3xy=(\sqrt{5})^{2}-3\times1=5 - 3=2$；
(2)原式$=\frac{x^{2}+y^{2}+2xy}{xy}=\frac{(x + y)^{2}}{xy}=\frac{(\sqrt{5})^{2}}{1}=5$.

答案：

3-1 已知$x = 1-\sqrt{2},y = 1+\sqrt{2}$，求$x^{2}+y^{2}-xy - 2x + 2y$的值.

答案： 解：因为 $x = 1-\sqrt{2}$，$y = 1+\sqrt{2}$，
所以 $x - y=(1-\sqrt{2})-(1+\sqrt{2})=-2\sqrt{2}$，
$xy=(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})=1 - 2=-1$，
则原式 = $x^{2}+y^{2}-2xy-2x + 2y+xy=(x - y)^{2}-2(x - y)+xy=(-2\sqrt{2})^{2}-2\times(-2\sqrt{2})-1 = 8 + 4\sqrt{2}-1 = 7 + 4\sqrt{2}$。

3-2 [乌鲁木齐沙依巴克区期末]已知$a=\sqrt{3}-2,b=\sqrt{3}+2$，求下列代数式的值：
(1)$a^{2}b - ab^{2}$；
(2)$a^{2}+2ab + b^{2}$.

答案： 解：因为 $a=\sqrt{3}-2$，$b=\sqrt{3}+2$，
所以 $a + b = 2\sqrt{3}$，$a - b=-4$，$ab=-1$。
(1)$a^{2}b - ab^{2}=ab(a - b)=(-1)\times(-4)=4$；
(2)$a^{2}+2ab + b^{2}=(a + b)^{2}=(2\sqrt{3})^{2}=12$。