《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

4 - 2 如图,在△ABC中,AB = AC = 20,BC = 32,D是BC上一点,且AD⊥AC.求BD的长.

答案：
解:如图,过点A作AE⊥BC于点E.
　　　　　　
　
∵AB=AC=20,BC=32,
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=16.
　　在Rt△ACE中,AE²+CE²=AC²,
　
∴AE=$\sqrt{AC^{2}-CE^{2}}$=$\sqrt{20^{2}-16^{2}}$=12.
　　设DE=x,则BD=16 - x,CD=16 + x.
　　在Rt△ADE中,AD²=AE²+DE²,
　　则AD²=12²+x²①.
　　在Rt△ADC中,AD²+AC²=CD²,
　　则AD²=(16 + x)² - 20²②.
　　联立①②,得12²+x²=(16 + x)² - 20²,解得x=9,
∴BD=16 - 9=7.

例5 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形.如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形中较短的直角边长为a,较长的直角边长为b,那么$(a + b)^{2}$的值为______.

思路分析
直角三角形斜边 $a^{2}+b^{2}=13$
长的平方为13 读图
$S_{大正方形}-S_{小正方形}=4S_{直角三角形}$ $13 - 1 = 4\times\frac{1}{2}ab$
$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}=13 + 12 = 25$
答案:25
解题策略 观察图形由哪些部分拼接而成,包括几个直角三角形、正方形等,根据大图形的面积等于各部分的面积和列出等式,再化简等式解决问题.

答案：

5 - 1 [恩施州宣恩县期末]“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形,如图,其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4,则小正方形与大正方形的面积比是( )

A.1:2
B.1:4
C.1:5
D.1:10

答案： C

5 - 2 如图是由“赵爽弦图”变化得到的,它由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为$S_{1}$,$S_{2}$,$S_{3}$.若$S_{1}+S_{2}+S_{3}=24$,则$S_{2}$的值为______.

答案： 8　[解析]
∵八个直角三角形全等，
∴S₁ - S₂ = S₂ - S₃，即S₁ + S₃ = 2S₂.
∵S₁ + S₂ + S₃ = 24,
∴2S₂ + S₂ = 24,
∴S₂ = 8.