《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例6 [北京平谷区期末]如图，在□ABCD中，过点B作BE ⊥ CD于点E，点F在边AB上，AF = CE，连接DF，CF.
(1)求证：四边形DFBE是矩形；
(2)当CF平分∠DCB时，若CE = 3，BE = 4，求CD的长.
思路分析
(1)$\begin{matrix}□ABCD\\AB\underline{\underline{//}}CD\\AF = CE\end{matrix}\to\begin{matrix}BE\perp CD\\□DFBE\end{matrix}\to$矩形DFBE
(2)$\begin{matrix}DE = BF\\Rt\triangle BCE\to勾股定理\to CB = 5\to DE = CB = 5\\AB// CD\\CF平分\angle DCB\end{matrix}\to\begin{matrix}\angle BCF = \angle CFB\\CB = BF\end{matrix}\to CD = CE + DE\to$代入
(1)证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB // CD，AB = CD. ∵ AF = CE，
∴ AB - AF = CD - CE，即BF = DE，∴ 四边形DFBE是平行四边形. ∵ BE ⊥ CD，
∴ ∠BED = 90°，∴ □DFBE是矩形.
(2)解：在Rt△BEC中，BE = 4，CE = 3，由勾股定理得CB = $\sqrt{BE^{2}+CE^{2}}$ = $\sqrt{4^{2}+3^{2}}$ = 5. ∵ CF平分∠DCB，∴ ∠DCF = ∠BCF.
∵ AB // CD，
平行线结合角平分线可以得出等腰三角形.
∴ ∠DCF = ∠CFB，
∴ ∠BCF = ∠CFB，
∴ BF = CB = 5. ∴ DE = BF = 5，
∴ CD = CE + DE = 3 + 5 = 8.

答案：

6 - 1 如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC ⊥ AB，∠AOB = 60°，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，CE，CF，AF.
(1)求证：四边形AECF为矩形；
(2)若AB = 3，求矩形AECF的面积.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA = OC，OB = OD.
∵E，F分别是OB，OD的中点，
∴OE=$\frac{1}{2}$OB，OF=$\frac{1}{2}$OD，
∴OE = OF，
∴四边形AECF是平行四边形.
∵AC⊥AB，∠AOB = 60°，
∴∠BAO = 90°，∠ABO = 30°，
∴OA=$\frac{1}{2}$OB = OE，
∴AC = EF，
∴▱AECF为矩形.
(2)解：由
(1)得OA = OE = OC = OF，∠AOB = 60°，∠ABO = 30°，
∴△OAE是等边三角形，∠OFA = ∠OAF=$\frac{1}{2}$∠AOB = 30° = ∠ABO，
∴AE = OA，AF = AB = 3.
在Rt△OAB中，由勾股定理易得OA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AB=$\sqrt{3}$，
∴AE = OA=$\sqrt{3}$，
∴矩形AECF的面积 = AF·AE = 3$\sqrt{3}$.

6 - 2 [武汉汉阳区期末改编]如图，AD // BC，AB // CD，∠B = ∠BCD，M为AD的中点，N为AB的中点，BN = 2.
(1)求证：四边形ABCD为矩形；
(2)若∠BNC = 2∠DCM，求BC的长.

答案：

(1)证明：
∵AD//BC，AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠B + ∠BCD = 180°.
又∠B = ∠BCD，
∴∠B = ∠BCD = 90°，
∴▱ABCD为矩形.
(2)解：如图，延长BA，CM交于点E.
∵M为AD的中点，N为AB的中点，
∴AM = DM，AN = BN = 2.
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD = AB = 4.
∵AE//CD，
∴∠E = ∠DCM.
在△AEM和△DCM中，
$\begin{cases}\angle E=\angle DCM,\\\angle AME=\angle DMC,\\AM = DM,\end{cases}$
∴△AEM≌△DCM(AAS)，
∴AE = DC = 4.
∵AB//CD，
∴∠BNC = ∠DCN.
又∠BNC = 2∠DCM，∠DCN = ∠DCM + ∠NCE，
∴∠NCE = ∠DCM = ∠E，
∴CN = EN = AE + AN = 4 + 2 = 6.
由
(1)知，∠B = 90°，
∴BC=$\sqrt{CN^{2}-BN^{2}}=\sqrt{6^{2}-2^{2}} = 4\sqrt{2}$.