《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

举一反三训练7 - 1★★☆如图,菱形ABCD的边长为6，∠DAB = 60°，F是边AD上的动点，E是边CD上的动点，且满足AF + CE = 6.
求证：不论点E，F怎样移动，△BEF总是等边三角形.

答案：
证明:如图，连接BD.
　
∵四边形ABCD是菱形，
　　　　　　　　　　　　　
　
∴AB=AD,AB//CD,
　
∵∠DAB=60°,
　
∴△ABD是等边三角形，
　
∴∠ABD=∠CDB=60°,AB=DB,
　
∴∠DAB=∠CDB.
　
∵CD=DE+CE=6,AF+CE=6,
∴AF=DE,
∴△ABF,≌△DBE(SAS),
　
∴BF=BE,∠ABF=∠DBE,
　
∴∠EBF=.DBE+∠DBF=∠ABF+∠DBF=
　　∠ABD=60°,
　
∴△BEF是等边三角形

7 - 2★★☆如图,在菱形ABCD中，∠ABC = 60°，BC = 5 cm，点E从点A出发沿射线AD以1 cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动，设运动时间为t s.
(1) 连接EF，当EF经过BD边的中点G时，求证：△DGE≌△BGF.
(2) 以A，C，F，E为顶点的四边形能否是平行四边形？若能，求出对应的t值；若不能，请说明理由.

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是菱形，
　
∴AD//BC,
∴∠EDG=∠FBG,∠DEG=∠BFG.
∵G为BD的中点，
∴DG=BG,
　
∴△DGE△BGF(AAS).
(2)解:能,①当点F在点C的左侧时,根据题意得AE=tcm,BF=2tcm,
　　则CF=BC−BF=(5−2t)cm.
　
∵AD//BC,
∴当AE=CF时,四边形AFCE是平行四边形,此时t=5−2t,解得t=$\frac{5}{3}$;
　　②当点F在点C的右侧时,根据题意得AE=
　　tcm,BF=2tcm,则CF=BF−BC=(2t−5)cm.
∵AD//BC,
∴当AE=CF时,四边形AEFC是平行四边形,此时t=2t−5,解得t=5.
　　综上所述,当t=$\frac{5}{3}$或5时,以A,C,F,E为顶点的四边形是平行四边形