《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例2 化简：
(1)$\sqrt{200}$；
(2)$\sqrt{(-14)\times(-112)}$；
(3)$\sqrt{13^{2}-12^{2}}$；
(4)$\sqrt{16x^{4}+64x^{2}}(x＞0)$。
分析：(1)(2)将被开方数分解为完全平方数与非完全平方数的积，然后化简；(3)(4)先将被开方的式子因式分解，再化简。
解：(1)$\sqrt{200}=\sqrt{2\times10^{2}}=\sqrt{2}\times\sqrt{10^{2}}=10\sqrt{2}$；
(2)$\sqrt{(-14)\times(-112)}=\sqrt{14\times112}=\sqrt{2\times7^{2}\times4^{2}}=\sqrt{2}\times\sqrt{7^{2}}\times\sqrt{4^{2}}=28\sqrt{2}$，注意：先去掉负号，再化简；
(3)$\sqrt{13^{2}-12^{2}}=\sqrt{(13 + 12)\times(13 - 12)}=\sqrt{25}=5$；
(4)$\sqrt{16x^{4}+64x^{2}}=\sqrt{16x^{2}(x^{2}+4)}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{x^{2}}\cdot\sqrt{x^{2}+4}=4x\sqrt{x^{2}+4}$，注意：$\sqrt{x^{2}+4}\neq\sqrt{x^{2}}+2$。
方法总结：化简二次根式的方法：①当被开方数是几个因数(或因式)的积的形式时，把数(或因式)中能写成平方形式的写成平方形式，再开平方；②若积中的因数(或因式)不是非负数，应先将其化为非负数，再运用公式化简；③当被开方数是多项式时，要先把被开方数因式分解，再化简。

答案：

2 - 1 [广州增城区期末]将$\sqrt{8}$化简后的结果是( )
A.2
B.$\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{2}$

答案： C

2 - 2 化简$\sqrt{(-3)^{2}\times2}$的结果为( )

A.$3\sqrt{2}$
B.$-3\sqrt{2}$
C.$\pm3\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{3}$

答案： A

2 - 3 [易错题] 已知$b＞0$，化简$\sqrt{-a^{3}b}$的结果是( )
A.$a\sqrt{ab}$
B.$-a\sqrt{ab}$
C.$-a\sqrt{-ab}$
D.$a\sqrt{-ab}$

答案： C　[解析]因为$b ＞ 0$，$-a^{3}b\geq0$，所以$a\leq0$，所以原式 = $\sqrt{a^{2}\cdot(-ab)}=\sqrt{a^{2}}\cdot\sqrt{-ab}=-a\sqrt{-ab}$。
故选C。
　　易错点:易误认为$a$是正数

2 - 4 设$\sqrt{2}=a,\sqrt{3}=b$，用含$a,b$的式子表示$\sqrt{24}$：________。(写一个即可)

答案： $2ab$(答案不唯一)　[解析] $\sqrt{24}=\sqrt{4\times6}=\sqrt{4\times2\times3}=2\times\sqrt{2}\times\sqrt{3}=2ab$。

2 - 5 化简：
(1)$\sqrt{21\times112}$；
(2)$\sqrt{(-4)\times\frac{25}{9}\times(-169)}$；
(3)$\sqrt{54a^{2}b^{2}}(a＞0,b＞0)$。

答案： 解:
(1)原式 = $\sqrt{3\times7^{2}\times4^{2}}=28\sqrt{3}$；
(2)原式 = $\sqrt{4\times\frac{25}{9}\times169}=\sqrt{2^{2}\times(\frac{5}{3})^{2}\times13^{2}}=\frac{130}{3}$；
(3)原式 = $\sqrt{6\times3^{2}a^{2}b^{2}}=3\sqrt{6}ab$。