《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例8 [方程思想]如图，□ABCD的周长是36 cm，从顶点D分别向AB，BC引两条高DE，DF.若DE = 4$\sqrt{3}$ cm，DF = 5$\sqrt{3}$ cm，求这个平行四边形的面积.

解:设AB = x cm，BC = y cm.
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB = CD，AD = BC.又□ABCD的周长是36 cm，
∴2x + 2y = 36.①
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴S□ABCD = AB·DE = BC·DF.
∴4$\sqrt{3}$x = 5$\sqrt{3}$y.②
由①②，解得x = 10，y = 8.
∴AB = 10 cm，BC = 8 cm.
∴S□ABCD = AB·DE = 10×4$\sqrt{3}$ = 40$\sqrt{3}$(cm²).
解题策略根据平行四边形的面积公式，可以得到对应边的比等于对应边上高的比的倒数.

答案：

例9 [龙岩上杭县期末]如图，在□ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE = DF，求证：∠AFE = ∠CEF.


思路分析

证明:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD = CB，AD//CB.
∴∠ADF = ∠CBE.
在△ADF和△CBE中，$\begin{cases}AD = CB,\\\angle ADF = \angle CBE,\\DF = BE,\end{cases}$
∴△ADF≌△CBE(SAS).
∴∠DFA = ∠BEC.
∴∠AFE = ∠CEF.
方法总结证明角相等的常用方法:(1)对顶角相等；(2)等边对等角；(3)两直线平行，内错角（同位角）相等；(4)全等三角形的对应角相等；(5)同角或等角的补角（余角）相等；(6)平行四边形的对角相等.

答案：

举一反三训练8 - 1 [转化思想][临沂中考]如图，若P是面积为S的□ABCD内任意一点，△PAD的面积为S₁，△PBC的面积为S₂，则(　　)
 
A.S₁ + S₂ ＞ $\frac{S}{2}$
B.S₁ + S₂ ＜ $\frac{S}{2}$
C.S₁ + S₂ = $\frac{S}{2}$
D.S₁ + S₂的大小与点P的位置有关

答案： C

8 - 2 如图，在□ABCD中，AB = 6，AD = 9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G.若BG = 4$\sqrt{2}$，则□ABCD的面积是(　　)

A.16$\sqrt{2}$
B.18$\sqrt{2}$
C.20$\sqrt{2}$
D.24$\sqrt{2}$

答案： D

9 - 1 如图，在□ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，求证：∠ADE = ∠CBF.

答案： 证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
　
∴∠A = ∠C，AD = CB，AB = CD.
　　又E，F分别是AB，CD的中点，
　
∴$AE=\frac{1}{2}AB$，$CF=\frac{1}{2}CD$.
∴AE = CF.
　
∴$\triangle AED\cong\triangle CFB$(SAS).
　
∴∠ADE = ∠CBF.