《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例6 计算：$\sqrt{\frac{2}{7}}\div(-\frac{2}{3}\sqrt{\frac{3}{5}})\times\frac{1}{2}\sqrt{\frac{7}{5}}$。
分析：解法1：统一为乘法运算；解法2：按系数、被开方数分别乘除进行计算。
解法1：原式$=\sqrt{\frac{2}{7}}\times(-\frac{3}{2}\sqrt{\frac{5}{3}})\times\frac{1}{2}\sqrt{\frac{7}{5}}=(-\frac{3}{2}\times\frac{1}{2})\sqrt{\frac{2}{7}\times\frac{5}{3}\times\frac{7}{5}}=-\frac{3}{4}\sqrt{\frac{2}{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{4}$。
解法2：原式$=[1\div(-\frac{2}{3})\times\frac{1}{2}]\times\sqrt{\frac{2}{7}\div\frac{3}{5}\times\frac{7}{5}}=-\frac{3}{4}\sqrt{\frac{2}{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{4}$。
解题策略 对于二次根式的乘除混合运算，一般先将除法转化为乘法，再进行计算。

答案：

例9 观察下列各式及验证过程：
$2\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{2+\frac{2}{3}}$。验证：左边$=2\times\sqrt{\frac{6}{3^{2}}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$，右边$=\sqrt{\frac{8}{3}}=\sqrt{\frac{4\times6}{3^{2}}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$，所以左边=右边。
$3\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{3+\frac{3}{8}}$。验证：左边$=3\times\sqrt{\frac{3\times2}{8\times2}}=\frac{3\sqrt{6}}{4}$，右边$=\sqrt{\frac{27}{8}}=\sqrt{\frac{27\times2}{8\times2}}=\sqrt{\frac{9\times6}{8\times2}}=\frac{3\sqrt{6}}{4}$，所以左边=右边。
(1)按照上述两等式及验证过程的思路，猜想$4\sqrt{\frac{4}{15}}$的变形结果并进行验证；
(2)针对上述各式反映的规律，写出用$n$（$n$为任意正整数，且$n \geq 2$）表示的等式，并进行证明。
解：(1)$4\sqrt{\frac{4}{15}}=\sqrt{4+\frac{4}{15}}$。验证：左边$=4\times\sqrt{\frac{4\times15}{15\times15}}=\frac{8\sqrt{15}}{15}$，右边$=\sqrt{\frac{64}{15}}=\sqrt{\frac{64\times15}{15\times15}}=\frac{8\sqrt{15}}{15}$，所以左边=右边。所以猜想成立。
(2)$n\sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}=\sqrt{n+\frac{n}{n^{2}-1}}$。
证明：左边$=\sqrt{\frac{n^{3}}{n^{2}-1}}=\sqrt{\frac{n(n^{2}-1)+n}{n^{2}-1}}=$右边。
解题策略 寻找通式的一般步骤：(1)将所给的已知结论进行编号；(2)确定已知结论中的每一部分与序号的统一关系；(3)用序号及确定的统一关系表示通式。

答案：

9-1 观察：①$\sqrt{1+\frac{1}{3}}=2\sqrt{\frac{1}{3}}$；
②$\sqrt{2+\frac{1}{4}}=3\sqrt{\frac{1}{4}}$；③$\sqrt{3+\frac{1}{5}}=4\sqrt{\frac{1}{5}}$；…
(1)根据以上规律，按顺序写出第④个式子；
(2)用含正整数$n(n \geq 1)$的代数式表示你观察到的规律并证明。

答案： 解：
(1)$\sqrt{4+\frac{1}{6}} = 5\sqrt{\frac{1}{6}}$。
(2)规律：$\sqrt{n+\frac{1}{n + 2}}=(n + 1)\sqrt{\frac{1}{n + 2}}$。
证明：左边=$\sqrt{\frac{n^{2}+2n + 1}{n + 2}}=\sqrt{\frac{(n + 1)^{2}}{n + 2}}=$右边。

9-2 观察下列等式：
①$\sqrt{5^{2}-4^{2}}=1\times3$；
②$\sqrt{17^{2}-8^{2}}=3\times5$；
③$\sqrt{37^{2}-12^{2}}=5\times7$；…
根据上述规律解答下列问题：
(1)完成第④个等式：$\sqrt{65^{2}-16^{2}}=$______×______；
(2)写出你猜想的第$n$个等式(用含$n$的式子表示)，并证明其正确性。

答案： 解：
(1)7 9
(2)第$n$个等式为$\sqrt{(4n^{2}+1)^{2}-(4n)^{2}}=(2n - 1)(2n + 1)$。
证明如下：
左边=$\sqrt{(4n^{2}+1 - 4n)(4n^{2}+1 + 4n)}$
$=\sqrt{(2n - 1)^{2}(2n + 1)^{2}}$
$=$右边。