《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例3★★☆如图,AB为一棵大树,在树上距地面10m的D处有两只猴子,它们同时发现C处有一筐水果,一只猴子从D处往上爬到树顶A处,又沿滑绳AC到达C处,另一只猴子从D处下滑到B处,再由B处跑到C处.已知两只猴子所经过的路程都为15m,求树高AB.

思路分析
数学模型:Rt△ABC
设未知数:AD + AC = BD + BC = 15m
列方程求解:AB² + BC² = AC²
解:设AD = xm,则AC = (15 - x)m,AB = (x + 10)m,BC = 15 - BD = 5 (m).
在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB² + BC² = AC²,即(x + 10)² + 5² = (15 - x)²,
解得x = 2,所以AB = 12m.
答:树高AB为12m.
解题策略:利用勾股定理解决实际问题的关键是抽象出直角三角形模型，准确找出等量关系.

答案：

例4★☆☆如图,数轴上的点A,B分别表示 - 1,2,BC⊥AB于点B,且BC = 1,连接AC,以点A为圆心,以AC长为半径作弧,弧与数轴的交点M表示的数为_______.

思路分析
Rt△ABC，勾股定理得AC = √10，由作图知AM = AC = √10，点M表示√10 - 1
答案:√10 - 1

答案：

4 - 1★☆☆[大连甘井子区期末]如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别是(-2,0)和(0,3),以点A为圆心,以AB长为半径作弧,交x轴的正半轴于点C,则点C的横坐标是(　　)

A.-√13
B.√13
C.-2 - √13
D.-2 + √13

答案： D

例5★☆☆如图①,正方体的棱长为2,B为一条棱的中点.已知一只蚂蚁从点A出发,沿正方体的表面爬行到点B,则它爬行的最短路程为(假设正方体下底面也可通过)(　　)
A.√10　　B.√13　　C.√17　　D.5
解析:如图②,将正方体侧表面展开,由“两点之间,线段最短”，可得最短路程为线段AB的长,AB = √((2 + 2)² + 1²) = √17.如图③,同理AB = √13.∵√13 ＜ √17,∴最短路程为√13.
答案:B
解题策略:求立体图形上两个点之间的最短路程，可以将立体图形展开成平面图形，使这两个点在同一个平面内，利用“两点之间，线段最短”，由勾股定理求连接这两点的线段长度，即为最短路程.

答案：

5 - 1★★☆有一圆柱(如图)高为12cm，底面圆的半径为6cm，AA₁，BB₁为相对的两条高，在AA₁上有一只蜘蛛Q，QA = 3cm，在BB₁上有一只苍蝇P，PB₁ = 2cm，蜘蛛沿圆柱侧面爬到点P吃苍蝇，最短的路线长是_______cm.(结果用带π和根号的式子表示)

答案： $\sqrt{49 + 36\pi^{2}}$　[解析]圆柱的部分侧面展开图如图所示，连接PQ,过点Q作QE⊥BB₁,垂足为E.
∵QA=3cm,
∴易得BE=QA=3cm.
∵BB₁=12cm,PB₁=2cm,
∴PE=BB₁−BE−PB₁=7cm.
∵圆柱底面圆的半径为6cm，
∴AB=6πcm.在Rt△PQE中,
∵QE=AB=6πcm,PE=7cm,
∴PQ=$\sqrt{PE^{2}+QE^{2}}=\sqrt{7^{2}+(6\pi)^{2}}=\sqrt{49 + 36\pi^{2}}\ (cm)$.
∴最短的路线长是$\sqrt{49 + 36\pi^{2}}$cm.

5 - 2★★☆如图是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,若一根到达底部的直吸管长为20,则吸管在罐外的部分a的长度范围是_______.(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)

答案：
7≤a≤8　[解析]设吸管在罐内的部分为b,示意图如图所示.　　　　　　　　　　　　　　 当吸管底部在点0处时，吸管在罐内的部分b最短,此时b就是圆柱的高，b=12.当吸管底部在点A处时，吸管在罐内的部分b最长，即线段AB的长，在Rt△ABO中,AB=$\sqrt{AO^{2}+BO^{2}}=\sqrt{5^{2}+12^{2}} = 13$此时b=13,
∴12≤b≤13.
∵吸管的长为20,
∴吸管在罐外的部分a的长度范围是7≤a≤8.