《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

题型二　根据二次根式的性质求字母的值
例7 [教材P5习题16.1T9变式题]
（1）若$\sqrt{10 - n}$是正整数，则整数$n$的最大值是 ；
（2）若$\sqrt{12n}$是正整数，则整数$n$的最小值是 .
思路分析
二次根式是正整数→被开方数为非零数字的完全平方数→$10 - n＞0$，$n＜10$，$n_{最大}=9$；$12n＞0$，$n＞0$，列举$n$的值（如1，2，3，…），找出使$\sqrt{12n}$为正整数的数，$n_{最小}=3$
答案：（1）9 （2）3
解题策略：通过列举的方法寻找使被开方数是完全平方数的$n$的最大（小）值.

答案： （1）9 （2）3

7 - 1 已知$n$是正整数，$\sqrt{5n - 1}$是整数，则$n$的值可以是( )
A.5
B.7
C.9
D.10

答案： D

7 - 2 [北京西城区期末]已知$n$是正整数，且$\sqrt{18 - n}$也是正整数，写出一个满足条件的$n$的值：$n =$ .

答案： 9(答案不唯一)

7 - 3 [玉林玉州区期中]若$\sqrt{45a}$是整数，则最小的正整数$a$的值是 .

答案： 5

7 - 4 已知$0＜2n + 3＜\sqrt{35}$，若$\sqrt{2n + 3}$是整数，则$n$的值为 .

答案： $-1$或$\frac{1}{2}$

题型三　利用$a = (\sqrt{a})^{2}(a \geq 0)$在实数范围内因式分解
例8 在实数范围内因式分解：
（1）$m^{4}-25$；
（2）$x^{4}-4x^{2}+4$.
解：（1）$m^{4}-25=(m^{2}+5)(m^{2}-5)=(m^{2}+5)[m^{2}-(\sqrt{5})^{2}]=(m^{2}+5)(m+\sqrt{5})(m-\sqrt{5})$；
（2）$x^{4}-4x^{2}+4=(x^{2}-2)^{2}=[x^{2}-(\sqrt{2})^{2}]^{2}=[(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})]^{2}=(x - \sqrt{2})^{2}(x + \sqrt{2})^{2}$.
解题策略：在实数范围内因式分解，就是要把一个正数$a$化为$(\sqrt{a})^{2}$，再利用公式法进行因式分解.平方差公式或完全平方公式.

答案：

8 - 1 多项式$3x^{2}y - 6y$在实数范围内因式分解正确的是( )
A.3y$(x+\sqrt{2})(x - \sqrt{2})$
B.3y$(x^{2}-2)$
C.y$(3x^{2}-6)$
D.-3y$(x+\sqrt{2})(x - \sqrt{2})$

答案： A

8 - 2 在实数范围内因式分解：
（1）$x^{4}-6x^{2}+9 =$ ；
（2）$a^{4}-4 =$ ；
（3）$x^{2}-2\sqrt{5}x + 5 =$ .

答案：
(1)$(x+\sqrt{3})^{2}(x - \sqrt{3})^{2}$
(2)$(a^{2}+2)(a+\sqrt{2})(a - \sqrt{2})$
(3)$(x-\sqrt{5})^{2}$

8 - 3 在实数范围内分解因式$x^{2}-4xy - 3y^{2}$的结果是 .

答案： $(x - 2y+\sqrt{7}y)(x - 2y-\sqrt{7}y)$