《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

题型二　平行四边形的性质和判定的综合运用
1.证明线段相等
例5[北京昌平区期末]如图,$AD$为$\triangle ABC$的角平分线,过点$D$作$DE// AB$交$AC$于点$E$,在$AB$上截取$BF = AE$,连接$EF$.求证:$EF = BD$.

证明:$\because AD$平分$\angle BAC$，$\therefore \angle BAD = \angle DAE$.
$\because DE// AB$，$\therefore \angle BAD = \angle ADE$.
$\therefore \angle DAE = \angle ADE$.$\therefore AE = DE$.
又$BF = AE$，$\therefore DE = BF$.又$DE// BF$，
$\therefore$四边形$BDEF$是平行四边形.
$\therefore EF = BD$.

技巧点拨 证明线段相等，可由角平分线和平行线通过“等角对等边”来证，也可由两线段是平行四边形的对边来证.

答案：

举一反三训练5 - 1如图,在▱$ABCD$中,$E,F$分别为边$AD,BC$的中点,对角线$AC$分别交$BE,DF$于点$G,H$.求证:
(1)四边形$BEDF$为平行四边形;
(2)$AG = CH$.

答案： 证明:
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD = BC，AD//BC.
∵E，F分别为边AD，BC的中点，
∴AE = DE = $\frac{1}{2}$AD，CF = BF = $\frac{1}{2}$BC.
∴DE = BF.
又DE//BF，
∴四边形BEDF为平行四边形.
(2)
∵AD//BC，
∴∠ADF = ∠CFH，∠EAG = ∠FCH.
∵四边形BEDF是平行四边形，
∴BE//DF.
∴∠AEG = ∠ADF.
∴∠AEG = ∠CFH.
在△AEG和△CFH中，$\begin{cases}\angle EAG = \angle FCH,\\AE = CF,\\\angle AEG = \angle CFH,\end{cases}$
∴△AEG≌△CFH(ASA).
∴AG = CH.

2.证明角相等
例6如图,在▱$ABCD$的对角线$AC$上取点$E,F$,若$AE = CF$,求证:$\angle AFD = \angle CEB$.

证明:如图,连接$DE,BF,BD$,设$BD$与$AC$交于点$O$.$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore OB = OD,OA = OC$.又$AE = CF$，
$\therefore OE = OF$.$\therefore$四边形$DEBF$是平行四边形.$\therefore DF// BE$.$\therefore \angle AFD = \angle CEB$.
解题策略 证明角相等，除了利用角平分线、平行线、等腰三角形、全等三角形外，还可以利用平行四边形的性质.

答案：

6 - 1如图,在$BC$的同侧分别作等边三角形$ABD$、等边三角形$BCE$、等边三角形$ACF$,$AF$与$CE$交于点$G$,连接$DE,EF$.求证:
(1)四边形$ADEF$是平行四边形;
(2)$\angle DEC = \angle AFC+\angle GCF$.

答案： 证明:
(1)
∵△ABD，△ACF，△BCE都是等边三角形，
∴AB = AD = BD，AC = CF = AF，BC = CE = BE，∠BCE = ∠ACF = 60°.
∴∠BCE - ∠ACE = ∠ACF - ∠ACE，
即∠BCA = ∠ECF.
在△BCA和△ECF中，$\begin{cases}BC = EC,\\\angle BCA = \angle ECF,\\AC = FC,\end{cases}$
∴△BCA≌△ECF(SAS).
∴AB = FE.
又AB = AD，
∴AD = EF.
同理可得△BDE≌△BAC，
∴DE = AC = AF.
∴四边形ADEF是平行四边形.
(2)
∵四边形ADEF是平行四边形，
∴DE//AF，
∴∠DEC = ∠AGC.
又∠AGC = ∠AFC + ∠GCF，
∴∠DEC = ∠AFC + ∠GCF.