《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例5 某商店准备购进A，B两种商品，A种商品每件的进价为50元，B种商品每件的进价为30元.商店将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元.
（1）商店计划用不超过1560元的资金购进A，B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店共有几种进货方案？
（2）中秋节期间，商店开展优惠促销活动，决定每件A种商品售价降低m$(10＜m＜20)$元，B种商品售价不变，在（1）的条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案.
解：（1）设购进A种商品a件，则购进B种商品$(40 - a)$件.由题意，得
$\begin{cases}50a + 30(40 - a)\leq1560 \\ a\geq\frac{40 - a}{2} \end{cases}$，解得$\frac{40}{3}\leq a\leq18$.
因为a为正整数，所以a可取14，15，16，17，18.所以该商店共有5种进货方案.
（2）设销售这40件商品获得的总利润为y元.由题意，得$y = (80 - 50 - m)a + (45 - 30)(40 - a) = (15 - m)a + 600$.
①当$15 - m＞0$时，$10＜m＜15$，y随a的增大而增大，所以当$a = 18$时，总利润最大，此时的进货方案为购进18件A种商品，22件B种商品；②当$15 - m = 0$时，$m = 15$，无论a取何值，（1）中的所有进货方案获利都相同；③当$15 - m＜0$时，$15＜m＜20$，y随a的增大而减小，所以当$a = 14$时，总利润最大，此时的进货方案为购进14件A种商品，26件B种商品.
解题策略 若一次函数的比例系数含有未知字母，则比例系数与0的大小关系不确定，一次函数的增减性也无法确定，这时需要分类讨论比例系数与0的大小，结合一次函数的增减性，根据自变量的取值范围确定最佳方案.

答案：

5-1 [南宁邕宁区期末改编]端午节期间某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老张每天从该水库购进草鱼和鲢鱼进行销售，两种鱼的进价和售价如表所示：

已知老张购进10 kg草鱼和5 kg鲢鱼需要155元，购进5 kg草鱼和10 kg鲢鱼需要130元.
（1）求m，n的值.
（2）老张每天购进两种鱼共150 kg，并在当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于40 kg且不超过60 kg，设每天销售鲢鱼x kg（销售过程中损耗不计）.
①分别求出每天销售鲢鱼获利$y_1$（单位：元），销售草鱼获利$y_2$（单位：元）与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②端午节这天，老张让利销售，将鲢鱼的售价每千克降低a元，草鱼的售价全部定为14元/kg，为了保证当天销售这两种鱼总获利W（单位：元）的最小值不少于320元，求a的最大值.

答案： 解：
(1)根据题意得 $\begin{cases}10m + 5n = 155 \\ 5m + 10n = 130\end{cases}$，
解得 $\begin{cases}m = 12 \\ n = 7\end{cases}$。
(2)①由题意得 $y_1=(10 - 7)x$，
即 $y_1 = 3x(40\leqslant x\leqslant 60)$。
当 $150 - x\leqslant 100$ 时，$50\leqslant x\leqslant 60$，$y_2=(16 - 12)×(150 - x)=-4x + 600$；
当 $150 - x ＞ 100$ 时，$40\leqslant x ＜ 50$，$y_2=(16 - 12)×100+(14 - 12)×(150 - x - 100)=-2x + 500$，
所以 $y_2=\begin{cases}-2x + 500(40\leqslant x ＜ 50) \\ -4x + 600(50\leqslant x\leqslant 60)\end{cases}$。
②由题意得 $W=(10 - a - 7)x+(14 - 12)×(150 - x)=(1 - a)x + 300(40\leqslant x\leqslant 60)$。
因为当 $1 - a\leqslant 0$ 时，$W=(1 - a)x + 300\leqslant 300 ＜ 320$，不合题意，所以 $1 - a ＞ 0$，
所以 $W$ 随 $x$ 的增大而增大，
所以当 $x = 40$ 时，$W$ 的值最小。
由题意得 $(1 - a)×40 + 300\geqslant 320$，
解得 $a\leqslant 0.5$，所以 $a$ 的最大值为 0.5。