《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例2 [陕西中考]如图，在$3\times3$的网格中，每个小正方形的边长都为1，点$A$，$B$，$C$都在格点上。若$BD$是$\triangle ABC$的高，则$BD$的长为( )
A.$\frac{10\sqrt{13}}{13}$ B.$\frac{9\sqrt{13}}{13}$ C.$\frac{8\sqrt{13}}{13}$ D.$\frac{7\sqrt{13}}{13}$

解析：如图，在$Rt\triangle ACG$中，根据勾股定理，得$AC=\sqrt{AG^{2}+CG^{2}}=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}$。
$\because S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=S_{正方形EFCG}-S_{\triangle ABE}-S_{\triangle BFC}-S_{\triangle ACG}$，$\therefore\frac{1}{2}\times\sqrt{13}\times BD=3\times3-\frac{1}{2}\times1\times2-\frac{1}{2}\times1\times3-\frac{1}{2}\times2\times3$，$\therefore BD=\frac{7\sqrt{13}}{13}$。
答案：D
解题策略 在网格中求三角形的高时常用等面积法(即用不同的方法表示同一个图形的面积)求解。

答案：

举一反三训练
2-1 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，四边形$ABCD$的顶点都在格点上，则下面4条线段的长为$\sqrt{10}$的是( )

A.$AB$
B.$BD$
C.$BC$
D.$CD$

答案： C

2-2 如图，网格中每个小正方形的边长都为1，点$A$，$B$，$C$都在格点上，则$\triangle ABC$的周长为( )

A.16
B.$12 + 4\sqrt{2}$
C.$7 + 7\sqrt{2}$
D.$5 + 11\sqrt{2}$

答案： B　[解析]根据勾股定理可知$AB = \sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$，$BC = \sqrt{4^{2}+4^{2}} = 4\sqrt{2}$，则$\triangle ABC$的周长为$AB + BC + AC = 5 + 4\sqrt{2} + 7 = 12 + 4\sqrt{2}$。

2-3 [玉林玉州区期末]如图，在$3\times3$的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点$A$，$B$，$C$均为格点，以点$A$为圆心，以$AB$长为半径作弧，交网格线于点$D$，则$CD$的长为________。

答案：
$3 - \sqrt{7}$　[解析]如图，连接$AB$，$AD$。$\because AD = AB = \sqrt{2^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{2}$，$\therefore DE = \sqrt{AD^{2}-AE^{2}} = \sqrt{(2\sqrt{2})^{2}-1^{2}} = \sqrt{7}$，$\therefore CD = 3 - \sqrt{7}$

例3 [数形结合思想]现有10个边长为1的小正方形，排列方式如图①所示，请把它们分割后拼接成一个大正方形。

(1)大正方形的边长为________；
(2)在图①和图②中分别画出分割线及拼接图。

思路分析

解：(1)$\sqrt{10}$
(2)如图①、图②所示。(画法不唯一)
知识点睛 要拼接的大正方形的边长是由所给小正方形的面积之和决定的。分割后的直角三角形的斜边长的平方等于所给小正方形的面积之和。

答案：

举一反三训练
3-1 13个边长为1的小正方形的排列形式如图①，请把它们分割后在图②中拼接成一个大正方形。

答案：
解：如图②，所作大正方形即为所求。