《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例4★★☆如图,在△ABC中,∠ACB = 90°，CD⊥AB于点D，AE平分∠BAC，分别与BC，CD交于点E，F，EH⊥AB于点H，连接FH.求证:四边形CFHE是菱形.

证明:∵EH⊥AB，∠ACB = 90°，AE平分∠BAC，
∴∠AHE = ∠ACB = 90°，∠CAE = ∠HAE，
CE = EH. 角平分线的性质
∴△AEC≌△AEH(AAS).
∴∠AEC = ∠AEH.
∵CD⊥AB，EH⊥AB，
∴CF//EH.
∴∠CFE = ∠AEH，
∴∠CFE = ∠AEC，
∴CF = CE.
∴CF = EH. 等角对等边
∴ 四边形CFHE是平行四边形.
又CE = EH，
∴ ▱CFHE是菱形.

答案：

3 - 2★★[青岛中考]如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别在BD和DB的延长线上,且DE = BF,连接AE,CF.
(1)求证:△ADE≌△CBF.
(2)连接AF,CE,当BD平分∠ABC时,四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由.

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
　
∴AD=CB,AD//CB.
　
∴∠ADB=∠CBD.
　
∴180°−∠ADB=180°−∠CBD,
　　即∠ADE=∠CBF:
　　在△ADE和△CBF中,
　　AD=CB,∠ADE=∠CBF,DE=BF,
　
∴△ADE≌△CBF(SAS).
(2)解:四边形AFCE是菱形.理由如下:
　
∵BD平分∠ABC,
　
∴∠ABD=∠CBD,
　　由
(1)知∠ADB=∠CBD.
　
∴∠ABD=∠ADB.
∴AB=AD.
　
∴▱ABCD是菱形.
∴OA=OC,OB=OD,AC⊥BD.
　
∵DE=BF,,
∴OD+DE=OB+BF,即OE=OF:
　
∴四边形AFCE是平行四边形
　　又AC⊥EF,
　
∴▱AFCE是菱形.

4 - 1★★[玉林中考]如图,将两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起,则重合部分构成的四边形ABCD______菱形.(填“是”或“不是”)

答案：
是　[解析]如图,过点A
　　分别作AE⊥BC于点E,
　　　　　　　　　　　　　
AF⊥CD于点F.
∵AB//
CD,AD//BC,
∴四边形
ABCD是平行四边形.
∵两张纸条等宽，
∴AE=
AF.又SABCD=BC.AE=CD.AF,
∴BC=CD.
∴▱ABCD是菱形.

4 - 2★★如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点E,F在BD上,且BE = DF,连接AE并延长,交BC于点G,连接CF并延长,交AD于点H.
(1)求证:△AOE≌△COF;
(2)若AC平分∠HAG，求证:四边形AGCH是菱形.

答案： 证明:
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
　
∴OA=0C,OB=OD.
　
∵BE=DF,
∴OB−BE=OD−DF,即OE=OF.
　　在△AOE和△COF中，
　　　OA=OC,
　　{∠AOE=∠COF,
　　　OE=OF,
　
∴△AOE≌△COF(SAS).
(2)由
(1)得△AOE≌△COF,
　
∴∠OAE=∠OCF,
∴AE//CF.
　
∵四边形ABCD是平行四边形，
　
∴AH//CG,
　
∴四边形AGCH是平行四边形.
　
∵AC平分∠HAG,
　
∴∠HAC=∠GAC.
　
∵AH//CG,
∴∠HAC=∠GCA,
　
∴∠GAC=∠GCA,
∴AG=CG,
　
∴□AGCH是菱形