《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

题型三　复杂的分段函数问题(行程问题)
例4 ★★☆甲、乙两人在某大街上同起点、同终点、同方向匀速步行2400m,先到终点的人原地休息.已知甲先出发4min,在整个步行过程中,甲、乙两人间的距离y(单位:m)与甲出发的时间x(单位:min)之间的关系如图中折线OABCD所示.

(1)甲的速度为________m/min,乙的速度为________m/min;
(2)求线段AB的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(3)乙比甲早几分钟到达终点?
思路分析
乙比甲早到终点的时间=甲步行完全程所用时间 - 乙步行完全程所用时间 - 甲先出发的时间
解:(1)60 80
(2)设线段AB的函数解析式为y = kx + b(4≤x≤16),
把(4,240),(16,0)代入,
得$\begin{cases}4k + b = 240,\\16k + b = 0.\end{cases}$
解方程组得$\begin{cases}k = -20,\\b = 320.\end{cases}$
则线段AB的函数解析式为y = -20x + 320(4≤x≤16).
(3)甲步行完全程所用时间为2400÷60 = 40(min),
乙步行完全程所用时间为2400÷80 = 30(min),
乙比甲早到终点的时间为40 - 30 - 4 = 6(min).
所以乙比甲早6min到达终点.
解题策略 对于分段函数,分清每段的意义是解题的关键.注意“拐点”既是前一段的终点,又是后一段的起点.该题中y值越大表示两人距离越远,y值为0表示两人相遇.

答案：

4 - 1 ★★☆[辽阳中考]一条公路旁依次有A,B,C三个村庄,甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发匀速前往C村,甲、乙之间的距离s(单位:km)与骑行时间t(单位:h)之间的函数关系如图所示.

下列结论:
①A,B两村相距10km;
②出发1.25h后两人相遇;
③甲每小时比乙多骑行8km;
④相遇后,乙又骑行了15min或65min时两人相距2km.
其中正确的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： D 【解析】由图象可知A，B两村相距10 km，
故①正确。当出发1.25 h后，甲、乙相距0 km，在此时两人相遇，故②正确。因为$10\div1.25 = 8(km/h)$，
所以甲的速度比乙的速度快8 km/h，即甲每小时比乙多骑行8 km，故③正确。当$1.25\leq t\leq2$时，函数图象经过点$(1.25,0)$，$(2,6)$，设对应一次函数的解析式为$s = kt + b(k\neq0)$，代入得
$\begin{cases}1.25k + b = 0 \\2k + b = 6 \end{cases}$，解方程组得$\begin{cases}k = 8 \\b = - 10 \end{cases}$，所以$s = 8t - 10$。当$s = 2$时，$8t - 10 = 2$，解得$t = 1.5$。所以$1.5 - 1.25 = 0.25(h)$，$0.25 h = 15 min$。同理当$2 ＜ t\leq2.5$时，设对应一次函数的解析式为$s = k't + b'(k'\neq0)$，将$(2,6)$，$(2.5,0)$代入得$\begin{cases}2k' + b' = 6 \\2.5k' + b' = 0 \end{cases}$，解方程组得$\begin{cases}k' = - 12 \\b' = 30 \end{cases}$，所以$s = - 12t + 30$。当$s = 2$时，
$- 12t + 30 = 2$，解得$t=\frac{7}{3}$。所以$\frac{7}{3}-1.25=\frac{13}{12}(h)$，
$\frac{13}{12}h = 65 min$。故相遇后，乙又骑行了15 min或65 min时两人相距2 km，故④正确。故选D。