《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

5 - 3 ★★☆ 如图，在正方形$ABCD$中，$E$为边$BC$上一点，将$\triangle ABE$沿$AE$翻折至$\triangle AB'E$处，$B'E$与$AC$交于点$F$. 若$\angle EFC = 69^{\circ}$，则$\angle EAC=$________$^{\circ}$.

答案： 12 【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠B = 90°，∠BAC = ∠BCA = 45°.
∵ ∠EFC = 69°，
∴ ∠BEF = ∠EFC + ∠BCA = 69° + 45° = 114°. 由折叠的性质可知∠BEA = $\frac{1}{2}$∠BEF = 57°，
∴ ∠BAE = 90° - ∠BEA = 33°，
∴ ∠EAC = ∠BAC - ∠BAE = 45° - 33° = 12°.

例6 ★★☆ 如图，在$\square ABCD$中，对角线$AC$，$BD$交于点$O$，$E$是$BD$延长线上一点，且$EA = EC$.
(1) 求证：四边形$ABCD$是菱形；
(2) 若$\angle DAC=\angle EAD+\angle AED$，求证：四边形$ABCD$是正方形.

思路分析
拆出基础图形
(1)$EA = EC$，$AO = CO$，证$AC\perp BD$得菱形
(2)根据外角$\angle ADO$以及已知条件证明$\angle ADO=\angle DAC$，得$AO = DO$
证明：(1)$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore AO = CO$.
$\because EA = EC$，$\therefore EO\perp AC$，即$BD\perp AC$.
$\therefore\square ABCD$是菱形. 三角形外角的性质
(2)$\because\angle ADO=\angle EAD+\angle AED=\angle DAC$，$\therefore AO = DO$. $\because$四边形$ABCD$是菱形，$\therefore AC = 2AO$，$BD = 2DO$. $\therefore AC = BD$.
$\therefore$菱形$ABCD$是正方形.
解题策略 判定正方形时，若图形中含有对角线，可考虑利用“对角线相等的菱形是正方形”或“对角线互相垂直的矩形是正方形”进行判定；若图形中没有对角线，可考虑利用“有一组邻边相等的矩形是正方形”或“有一个角是直角的菱形是正方形”进行判定.

答案：

6 - 1 ★★☆ 如图，在四边形$ABCD$中，$AD// BC$，$AD = CD$，$E$是对角线$BD$上一点，且$AE = CE$.
(1) 求证：四边形$ABCD$是菱形；
(2) 如果$BE = BC$，且$\angle CBE:\angle BCE = 2:3$，求证：四边形$ABCD$是正方形.

答案： 证明：（1）在△ADE和△CDE中，
$\begin{cases}AD = CD,\\DE = DE,\\AE = CE,\end{cases}$
∴ △ADE≌△CDE（SSS），
∴ ∠ADE = ∠CDE.
∵ AD//BC，
∴ ∠ADE = ∠CBD，
∴ ∠CDE = ∠CBD，
∴ BC = CD.
∵ AD = CD，
∴ AD = BC.
∵ AD//BC，
∴ 四边形ABCD为平行四边形.
又AD = CD，
∴ ▱ABCD是菱形.
（2）
∵ BE = BC，
∴ ∠BCE = ∠BEC.
∵ ∠CBE : ∠BCE = 2 : 3，
∴ ∠CBE = 180°×$\frac{2}{2 + 3 + 3}$= 45°.
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ ∠ABE = ∠CBE = 45°，
∴ ∠ABC = 90°，
∴ 菱形ABCD是正方形.

6 - 2 ★★☆ [内江资中县期末]如图，在$\triangle ABC$中，$AD$是$BC$边上的中线，$E$是$AD$的中点，过点$A$作$AF// BC$与$CE$的延长线交于点$F$，连接$BF$.
(1) 求证：四边形$AFBD$是平行四边形.
(2) 当$\triangle ABC$满足什么条件时，四边形$AFBD$为矩形？证明你的结论.
(3) 当$\triangle ABC$满足什么条件时，四边形$AFBD$为正方形？证明你的结论.

答案： （1）证明：
∵ E为AD的中点，D为BC的中点，
∴ AE = DE，BD = CD.
∵ AF//BC，
∴ ∠AFE = ∠DCE，∠FAE = ∠CDE.
在△AFE和△DCE中，
$\begin{cases}\angle AFE = \angle DCE,\\\angle FAE = \angle CDE,\\AE = DE,\end{cases}$
∴ △AFE≌△DCE（AAS），
∴ AF = DC，
∴ AF = BD.
又AF//BD，
∴ 四边形AFBD为平行四边形.
（2）解：当△ABC满足条件AB = AC时，四边形AFBD是矩形. 证明如下：
∵ AB = AC，AD为BC边上的中线，
∴ AD⊥BC，
∴ ∠ADB = 90°.
∵ 四边形AFBD为平行四边形，
∴ ▱AFBD为矩形.
（3）解：当△ABC满足条件AB = AC，∠BAC = 90°时，四边形AFBD为正方形. 证明如下：
当AB = AC时，由（1）（2）知四边形AFBD为矩形.
∵ ∠BAC = 90°，D为BC的中点，
∴ AD = $\frac{1}{2}$BC = BD，
∴ 矩形AFBD为正方形.