《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

8 - 2 [方程思想]如图,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,D是AB的中点,BE⊥CD,交CD的延长线于点E. 若AC = 2,BC = $2\sqrt{2}$,则BE的长为_______.
　　　　　

答案： $\frac{2\sqrt{6}}{3}$　[解析]在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = 2，BC = $2\sqrt{2}$，由勾股定理得AB = $\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{2^{2}+(2\sqrt{2})^{2}} = 2\sqrt{3}$.
∵D是AB的中点，
∴CD = BD = $\frac{1}{2}$AB = $\sqrt{3}$.设DE = x，则CE = $\sqrt{3}+x$.在Rt△BED和Rt△BEC中，由勾股定理分别可得$BD^{2}-DE^{2}=BE^{2}$，$BC^{2}-CE^{2}=BE^{2}$，
∴$(\sqrt{3})^{2}-x^{2}=(2\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{3}+x)^{2}$，解得$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
∴DE = $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
∴在Rt△BED中，BE = $\sqrt{BD^{2}-DE^{2}}=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}-(\frac{\sqrt{3}}{3})^{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$.

8 - 3 [广州白云区期中]如图,在△ABC中,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,M,N分别是BC,DE的中点.
(1)求证:MN⊥DE;
(2)若∠A = 60°,BC = 12,求MN的长.
　　　　　　　　　　

答案：
(1)证明：
∵BD⊥AC，CE⊥AB，M是BC的中点，
∴DM = $\frac{1}{2}$BC = EM.
又N是DE的中点，
∴MN⊥DE.
(2)解：
∵DM = EM = BM = CM，
∴∠BME + ∠CMD = 180° - 2∠ABC + 180° - 2∠ACB = 360° - 2(∠ABC + ∠ACB).
∵∠A = 60°，
∴∠ABC + ∠ACB = 180° - 60° = 120°，
∴∠BME + ∠CMD = 360° - 2×120° = 120°，
∴∠DME = 180° - (∠BME + ∠CMD) = 60°，
∴△MED是等边三角形，
∴DE = DM.
由
(1)知DM = $\frac{1}{2}$BC = 6，
∴DE = 6.
∵N是DE的中点，
∴DN = $\frac{1}{2}$DE = 3，
∴MN = $\sqrt{DM^{2}-DN^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}} = 3\sqrt{3}$.

题型四　利用矩形的性质进行计算或证明
例9 如图,在矩形ABCD中,E是AD的中点,延长CE,BA交于点F,连接AC,DF.
(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;
(2)当CF平分∠BCD时,写出BC与CD的数量关系,并说明理由.

思路分析

(1)证明:∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ AB//CD.
∴ ∠CDE = ∠FAE. “中点+平行线”⇒全等三角形.
∵ E是AD的中点,
∴ DE = AE.
又∠CED = ∠FEA,
∴ △CDE≌△FAE(ASA).
∴ CD = FA. 又CD//FA,
∴ 四边形ACDF是平行四边形.
(2)解:BC = 2CD. 理由:
∵ CF平分∠BCD,∴ 易得∠DCE = 45°.
∴ △CDE是等腰直角三角形. ∴ CD = DE.
∵ E是AD的中点,∴ AD = 2DE = 2CD.
∵ AD = BC,∴ BC = 2CD.
解题策略 (1)矩形的对边平行且相等,对角线相等且互相平分,这些性质可以用来证明线段相等或线段的倍分关系. (2)“矩形+内角平分线”构成等腰直角三角形.

答案：

9 - 1 [西藏中考]如图,在矩形ABCD中,AB = $\frac{1}{2}$BC,点F在BC边的延长线上,P是线段BC上一点(不与点B,C重合),连接AP并延长,过点C作CG⊥AP,垂足为E.
(1)若CG为∠DCF的平分线,请判断BP与CP的数量关系,并证明;
(2)若AB = 3,△ABP≌△CEP,求BP的长.
　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1)BP = CP.证明如下：
∵CG为∠DCF的平分线，
∴易得∠DCG = ∠FCG = 45°，
∴∠PCE = ∠FCG = 45°.
∵CG⊥AP，
∴∠E = ∠B = 90°，
∴∠APB = ∠CPE = 45°，
∴∠BAP = ∠APB = 45°，
∴AB = BP.
∵AB = $\frac{1}{2}$BC，
∴BC = 2AB = 2BP，
∴BP = CP.
(2)
∵△ABP≌△CEP，
∴AP = CP.
∵AB = 3，
∴BC = 2AB = 6.
在Rt△ABP中，
∵$AP^{2}=AB^{2}+BP^{2}$，
∴$(6 - BP)^{2}=3^{2}+BP^{2}$，
∴BP = $\frac{9}{4}$.