《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例11 ★★★ [转化思想] 如图①，已知菱形ABCD的面积为8$\sqrt{3}$，对角线AC = 4$\sqrt{3}$，M为BC的中点. 若P为对角线AC上一动点，则PB与PM之和的最小值为( )

思路分析 如图②，点
B关于AC的对称点为
D，连接DM交AC于点
P，此时PB + PM最小，
最小值为DM的长.
$S_{菱ABCD}=8\sqrt{3}$ $AC = 4\sqrt{3}$
BD = 4 $CD=\sqrt{OD^{2}+OC^{2}}$ CD = BC
= 4
△DBC为等边三角形
DM⊥BC
DM = 2$\sqrt{3}$
答案：B
解题策略 线段之和最小问题，一般将其转化后，用“两点之间，线段最短”来解决.
“两点一线”型：如图①，当两点在直线l异侧时，连接AB交l于点P，此时PA + PB最小；如图②，当两点在直线l同侧时，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，此时PA + PB最小.
“一点两线”型：如图③，分别作点A关于直线m，l的对称点A′，A″，连接A′A″分别交直线m，l于点B，C，此时△ABC的周长最小.

A. $\sqrt{3}$
B. 2$\sqrt{3}$
C. 2
D. 4

答案：

11 - 1 ★★☆ [广安中考] 如图，菱形ABCD的边长为2，P是对角线AC上的一个动点，E，F分别为边AD，CD的中点，则PE + PF的最小值是( )

A. 2
B. $\sqrt{3}$
C. 1.5
D. $\sqrt{5}$

答案： A

11 - 2 ★★★ [马鞍山期末] 如图，在菱形ABCD中，∠B = 45°，BC = 2$\sqrt{3}$，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE和EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GH的最小值为( )

A. $\sqrt{3}$
B. $\frac{\sqrt{6}}{2}$
C. $\frac{\sqrt{6}}{3}$
D. 1

答案：
 B 【解析】如图，连接AF.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = BC = $2\sqrt{3}$.
∵G，H分别为AE，EF的中点，
∴GH是△AEF的中位线，
∴GH = $\frac{1}{2}$AF.当AF⊥BC时，AF最小，GH取得最小值，此时∠AFB = 90°.
∵∠B = 45°，
∴△ABF是等腰直角三角形.设AF = BF = x(x>0)，由勾股定理得$AF^{2}+BF^{2}=AB^{2}$，即$x^{2}+x^{2}=(2\sqrt{3})^{2}$，
∴x = $\sqrt{6}$.
∴GH = $\frac{\sqrt{6}}{2}$，即GH的最小值为$\frac{\sqrt{6}}{2}$. 

11 - 3 ★★★ [贺州中考] 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC = 6$\sqrt{3}$，BD = 6，P是AC上一动点，E是AB的中点，则PD + PE的最小值为________.

答案：
 $3\sqrt{3}$ 【解析】如图，连接DE.
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC = $6\sqrt{3}$，BD = 6，
∴AO = $\frac{1}{2}$AC = $3\sqrt{3}$，BO = $\frac{1}{2}$BD = 3，AC⊥BD，
∴AB = $\sqrt{AO^{2}+BO^{2}}$ = $\sqrt{(3\sqrt{3})^{2}+3^{2}}$ = 6，
∴AB = AD = BD，
∴△ABD是等边三角形.
∵E是AB的中点，
∴DE⊥AB.
∵$S_{菱形ABCD}$ = $\frac{1}{2}$AC·BD = AB·DE，
∴$\frac{1}{2}$×$6\sqrt{3}$×6 = 6×DE，
∴DE = $3\sqrt{3}$.
∵PD + PE≥DE，
∴PD + PE的最小值为DE的长，即PD + PE的最小值为$3\sqrt{3}$.