《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例5[转化思想]如图①，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B到点C的距离为5cm，如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点B，求这只蚂蚁要爬行的最短路程。

思路分析
观察图形，有三种路线：右侧面和前面、右侧面和上底面、后面和上底面，展开后利用勾股定理求路线长，比较各路线长短得出最短路程。
解:分以下三种路线进行讨论：
①如图②，沿右侧面和前面爬行时，
由勾股定理，得$AB=\sqrt{(10 + 5)^{2}+20^{2}} = 25$(cm)，即路线长$l_{1}=25$cm；
②如图③，沿右侧面和上底面爬行时，由勾股定理，得$AB=\sqrt{(20 + 5)^{2}+10^{2}} = 5\sqrt{29}$(cm)，即路线长$l_{2}=5\sqrt{29}$cm；
③如图④，沿后面和上底面爬行时，
由勾股定理，得$AB=\sqrt{5^{2}+(20 + 10)^{2}} = 5\sqrt{37}$(cm)，即路线长$l_{3}=5\sqrt{37}$cm。
$\because l_{1}＜l_{2}＜l_{3}$，$\therefore$这只蚂蚁要爬行的最短路程为25 cm。
解题策略：立体图形展开“转化”为平面图形，构造“转化”为直角三角形，最短路程为其斜边长；已指定路线，直接求斜边长；未指定路线，先分类讨论再取最短的斜边。

答案：

5−1[河池南丹县期末]如图，正方体的棱长为4 cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点$C_{1}$处.那么蚂蚁爬行的最短路程是________cm.

答案： $4\sqrt{5}$

5−2[教材P39复习题17T12变式题]如图，已知圆柱底面的周长为6 cm，圆柱的高为3 cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为________cm.

答案：
$6\sqrt{2}$ 【解析】如图，把圆柱的侧面展开，得到长方形，
则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度.
∵圆柱底面的周长为6 cm，圆柱的高为3 cm，
∴AB = 3 cm，BC = BC' = 3 cm，
∴$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=3^{2}+3^{2}=18$，
∴AC = $3\sqrt{2}$ cm，
∴这圈金属丝的周长最小为2AC = $6\sqrt{2}$ cm.

5−3[滑县期末]我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则葛藤的最短长度是________尺。

答案：
25 【解析】如图，直角三角形中一条直角边(即枯木的高)长20尺，
另一条直角边长5×3 = 15(尺)，因此葛藤的最短长度为$\sqrt{20^{2}+15^{2}}$ = 25(尺).