《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例1 [江西中考]如图，在四边形ABCD中，AB = CD，AD = BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA = OD. 求证：四边形ABCD是矩形.

思路分析
$\begin{cases}AB = CD\\AD = BC\end{cases}\Rightarrow$四边形ABCD是平行四边形$\begin{cases}AC = 2OA，BD = 2OD\\OA = OD\end{cases}\Rightarrow$□ABCD是矩形
证明：∵ AB = CD，AD = BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形. ∴ AC = 2OA，BD = 2OD.
又OA = OD，∴ AC = BD. ∴ □ABCD是矩形.
知识点睛 从对角线角度判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：(1)这个四边形是平行四边形；(2)对角线相等. 也就是说对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个前提条件它才是矩形. 如等腰梯形.

答案：

1 - 1 [河池中考]已知□ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( )
A. ∠A = ∠B
B. ∠A = ∠C
C. AC = BD
D. AB ⊥ BC

答案： B

1 - 2 如图，在四边形ABCD中，∠C = ∠D = 90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是__________.(写一个即可)

答案： ∠A = 90°(答案不唯一)

1 - 3 [广西北部湾经济区中考]如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接ED并延长至点F，使DF = DE，连接AF，BF，BE.
(1)求证：△ADE≌△BDF；
(2)若∠ABE = ∠CBE，求证：四边形AFBE是矩形.

答案： 证明：
(1)
∵D是AB的中点，
∴AD = BD.
在△ADE和△BDF中，$\begin{cases}AD = BD,\\\angle ADE=\angle BDF,\\DE = DF,\end{cases}$
∴△ADE≌△BDF(SAS).
(2)
∵AD = BD，DF = DE，
∴四边形AFBE是平行四边形.
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，
∴∠DEB = ∠CBE.
∵∠ABE = ∠CBE，
∴∠DEB = ∠ABE，
∴BD = DE，
∴AB = EF，
∴▱AFBE是矩形.