《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例5 ★★☆ 如图，在学校举办的“校园文化节”活动中，小明制作了两张大小不同的正方形壁画，一张面积为$800$ cm²，另一张面积为$450$ cm²，他想用细彩带把壁画的边镶上，现手上有$1.2$ m长的细彩带. 请你帮忙算一算，他的细彩带够用吗?如果不够用，还需买多长的细彩带呢($\sqrt{2}\approx1.414$，结果精确到$1$ cm)?

思路分析

解：镶壁画的边所需的细彩带的长为
$4\times(\sqrt{800}+\sqrt{450}) = 4\times(20\sqrt{2}+15\sqrt{2}) = 140\sqrt{2}\approx197.96$(cm).
因为$1.2$ m = $120$ cm，$120＜197.96$，
所以小明的细彩带不够用.
而$197.96 - 120 = 77.96\approx78$(cm)，
因此还需买$78$ cm长的细彩带.

答案：

5-1 ★★☆ 一个等腰三角形的两边长分别为$3\sqrt{2}$和$4\sqrt{3}$，则这个三角形的周长是( )
A.$6\sqrt{2}+4\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{2}+8\sqrt{3}$
C.$6\sqrt{2}+4\sqrt{3}$或$3\sqrt{2}+8\sqrt{3}$
D.$6\sqrt{2}+8\sqrt{3}$

答案： C [解析]当$3\sqrt{2}$是腰长时，$3\sqrt{2}$，$3\sqrt{2}$，$4\sqrt{3}$能组成三角形，三角形的周长为$6\sqrt{2}+4\sqrt{3}$；当$4\sqrt{3}$是腰长时，$4\sqrt{3}$，$4\sqrt{3}$，$3\sqrt{2}$能组成三角形，三角形的周长为$3\sqrt{2}+8\sqrt{3}$。因此这个三角形的周长是$6\sqrt{2}+4\sqrt{3}$或$3\sqrt{2}+8\sqrt{3}$。

5-2 ★★☆ 如图，从一个大正方形中裁去面积分别为$8$ cm²和$18$ cm²的两个小正方形，则留下的阴影部分面积和为__________ cm².

答案： 24 [解析]因为两个小正方形的面积分别为$8 cm^{2}$和$18 cm^{2}$，所以大正方形的边长为$\sqrt{8}+\sqrt{18}=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}(cm)$，所以大正方形的面积为$(5\sqrt{2})^{2}=50(cm^{2})$，所以留下的阴影部分的面积和为$50 - 8 - 18 = 24(cm^{2})$。

5-3 ★★☆[教材P17“活动2”变式题]如图，大正方形的面积为$48$ cm²，它的四个角都是面积为$3$ cm²的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，则这个长方体盒子的容积是多少(结果保留根号)?

答案： 解：因为大正方形的边长为$\sqrt{48} cm = 4\sqrt{3} cm$，小正方形的边长为$\sqrt{3} cm$，所以这个长方体盒子底面正方形的边长为$4\sqrt{3}-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}(cm)$，高为$\sqrt{3} cm$，则长方体盒子的容积为$(2\sqrt{3})^{2}\times\sqrt{3}=12\sqrt{3}(cm^{3})$。