《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例5★★☆如图,在四边形ABCD中,AB = CD，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点. 求证：四边形EGFH是菱形.

思路分析

证明:∵ E是AD的中点，G是BD的中点，∴ EG = $\frac{1}{2}$AB. 同理FH = $\frac{1}{2}$AB，
EH = $\frac{1}{2}$CD，FG = $\frac{1}{2}$CD. 注意中位线所在的三角形
又AB = CD，∴ EG = FG = FH = EH，
∴ 四边形EGFH是菱形.

答案：

5 - 1★★☆如图,在四边形ABCD中,E是AB上一点,△ADE和△BCE都是等边三角形,P,Q,M,N分别为AB,BC,CD,AD的中点,则四边形MNPQ的形状是_______.

答案：
菱形　[解析]如图，连
　　接BD,AC;
∵△ADE,
　　　　　　　　　　　
　　△BCE是等边三角
　　形，
∴AE=DE,CE=
BE,∠AED=∠BEC=60°,
∴∠CED=60°,
∴∠AEC=∠DEB=120°,
∴△AEC△DEB (SAS),..,AC=DB.
∵M,N分别是CD,AD的中点,
∴MN是△ACD的中位线，
∴MN=$\frac{1}{2}$AC.同理可得NP=$\frac{1}{2}$BD,PQ=$\frac{1}{2}$AC,MQ=$\frac{1}{2}$BD,
∴MN=NP=PQ=MQ,
∴四边形MNPQ是菱形.

5 - 2★★☆如图,在四边形ABCD中,AB = AD，CB = CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.
(1)求证:∠BAC = ∠DAC；
(2)若∠BEC = ∠ABE，求证:四边形ABCD是菱形.

答案： 证明:
(1)在△ABC和△ADC中,　　　　　　　　　　　　　　　　
AB=AD,　　　　　　　　　　　　　　　　
AC=AC,　　　　　　　　　　　　　　　　
CB=CD,　　　　　　　　　　　　　　　
　
∴△ABC△ADC(SSS),
　
∴∠BAC=∠DAC.
(2)
∵∠BEC=∠ABE,
　
∴AB//CD,
　
∴∠BAC=∠ACD.
　　由
(1)知∠BAC=∠DAC,
　
∴∠DAC=∠ACD,
　
∴AD=CD.
　　又AB=AD,CB=CD,
　
∴AB=CB=CD=AD,
　
∴四边形ABCD是菱形.