《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例2如图,在四边形$ABCD$中,$AD// BC$,$\angle A = \angle C$,试判断四边形$ABCD$的形状,并说明理由.

解:四边形$ABCD$是平行四边形.理由如下:
$\because AD// BC$，$\therefore \angle A+\angle B = 180^{\circ},\angle C+\angle D = 180^{\circ}$.
又$\angle A = \angle C$，$\therefore \angle B = \angle D$.
$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形.
解题策略 当四边形中有一组对角相等时，可考虑证明另一组对角也相等，从而证明该四边形是平行四边形.

答案：

例3如图,AC,BD相交于点O,AB//CD,AD//BC,E,F分别是OB,OD的中点.求证:四边形AFCE是平行四边形.
　　　　　　　　
证明:∵AB//CD,AD//BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴OA=OC,OB=OD.
∵E,F分别是OB,OD的中点，
∴OE=$\frac{1}{2}$OB,OF=$\frac{1}{2}$OD.
∴OE=OF.
∴四边形AFCE是平行四边形.
解题策略:当已知一条对角线被另一条对角线平分时，只需证出两条对角线互相平分，即可证明该四边形是平行四边形.

答案：

举一反三训练2 - 1下面给出了四边形$ABCD$中$\angle A,\angle B,\angle C,\angle D$的度数之比,其中能判定四边形$ABCD$是平行四边形的是(　　　)
A.$1:2:3:4$
　B.$2:2:3:3$
C.$2:3:2:3$
　D.$2:3:3:2$

答案： C

2 - 2如图,在四边形$ABCD$中,$AB// CD$,$\angle B = 55^{\circ}$,$\angle 1 = 85^{\circ}$,$\angle 2 = 40^{\circ}$.求证:四边形$ABCD$是平行四边形.

答案： 证明:
∵AB//CD,
∴∠DCB = 180° - ∠B = 125°，∠CAB = ∠2 = 40°.
∴∠DAB = ∠1 + ∠CAB = 85° + 40° = 125°.
∴∠D = 180° - ∠DAB = 180° - 125° = 55°.
∴∠D = ∠B，∠DAB = ∠DCB，
∴四边形ABCD是平行四边形.

举一反三训练3 - 1四边形$ABCD$的对角线$AC,BD$相交于点$O$,要使四边形$ABCD$为平行四边形，可添加的条件为(　　　)
A.$AB = AD,BC = CD$
B.$AO = CO,BO = DO$
C.$AO\perp DO$
D.$AO\perp AB$

答案： B

3 - 2如图,四边形$ABCD$的对角线$AC,BD$交于点$O$,$O$是$AC$的中点,$AE = CF$,$DF// BE$.求证:四边形$ABCD$是平行四边形.

答案： 证明:
∵DF//BE,
∴∠EBO = ∠FDO，∠BEO = ∠DFO.
∵O为AC的中点，
∴OA = OC.
又AE = CF，
∴OA - AE = OC - CF，
即OE = OF，
∴△BOE≌△DOF(AAS)，
∴OB = OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.