《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例3 ★★☆ 已知$x$，$y$为实数，且$y = \sqrt{x - 8}-\sqrt{8 - x}+25$，则$\sqrt[3]{x}+\sqrt{y}$的值为______。
思路分析

答案：7
技巧点拨 在同一问题中，若被开方数互为相反数，则它们一定都等于0。

答案： 7

3 - 1 ★★☆ [易错题]若$a$，$b$为实数，且$b = \frac{\sqrt{a^{2}-9}+\sqrt{9 - a^{2}}}{a + 3}+4$，则$a + b$的值为( )
A.-1
B.1
C.1或7
D.7

答案： D [解析]由题意，得$a^{2}-9 = 0$且$a + 3\neq0$，所以$a = 3$.所以$b = 4$.所以$a + b = 3 + 4 = 7$.
易错点：忽视分母不为0而出错.

3 - 2 ★★☆ 已知$\sqrt{x - 6}+\sqrt{12 - 2x}=y + 1$，则$x^{y}$的值为________。

答案： $\frac{1}{6}$ [解析]由题意，得$\begin{cases}x - 6\geqslant0 \\12 - 2x\geqslant0\end{cases}$，解得$x = 6$，
所以$y + 1 = 0$，所以$y = -1$，所以$x^{y}=6^{-1}=\frac{1}{6}$.

3 - 3 ★★☆ 已知实数$a$满足$|99 - a|+\sqrt{a - 100}=a$，则$a - 99^{2}=$________。

答案： 100 [解析]根据二次根式有意义的条件得$a - 100\geqslant0$，所以$a\geqslant100$，所以$99 - a＜0$，所以原式可化为$a - 99+\sqrt{a - 100}=a$，所以$\sqrt{a - 100}=99$，所以$a - 100 = 99^{2}$，所以$a - 99^{2}=100$.

例4 ★★☆ 若$\sqrt{x + y - 1}+(y + 5)^{2}=0$，则$x - y$的值为______。
思路分析
因为非负数的和为0，所以$\begin{cases}x + y - 1 = 0\\y + 5 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 6\\y = -5\end{cases}$，则$x - y = 11$。
答案：11
技巧点拨 几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0。三类常见的非负数：$\sqrt{a}$，$|a|$，$a^{2}$。

答案： 11

4 - 1 ★★☆ 已知$\sqrt{3a + 4}+b^{2}-12b + 36 = 0$，则$ab$的值为________。

答案： -8 [解析]原等式可化为$\sqrt{3a + 4}+(b - 6)^{2}=0$，所以$3a + 4 = 0$且$b - 6 = 0$，所以$a = -\frac{4}{3}$，$b = 6$.
所以$ab = -\frac{4}{3}\times6=-8$.

4 - 2 ★★☆ 若$a$，$b$为实数，且$|a + 1|$与$\sqrt{b - 2}$互为相反数，则$(a + b)^{2025}$的值为________。

答案： 1 [解析]根据题意，得$\vert a + 1\vert+\sqrt{b - 2}=0$，所以$a + 1 = 0$且$b - 2 = 0$，所以$a = -1$，$b = 2$，则$(a + b)^{2025}=(-1 + 2)^{2025}=1$.

4 - 3 ★★☆ 已知$a$，$b$是等腰三角形的两边长，且满足$\sqrt{2a - 3b + 5}+(2a + 3b - 13)^{2}=0$，则此三角形的周长为________。

答案： 7或8 [解析]由题意得$\begin{cases}2a - 3b + 5 = 0 \\2a + 3b - 13 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 2 \\b = 3\end{cases}$.当$b$为等腰三角形的底时，三角形的三边长为$2$，$2$，$3$，则周长为$7$；当$a$为等腰三角形的底时，三角形的三边长为$2$，$3$，$3$，则周长为$8$.
综上所述，此三角形的周长为$7$或$8$.

例5 ★★☆ [方程思想]一个长方形的面积为$150\ cm^{2}$，它的长和宽之比为$5:3$。这个长方形的长为________$cm$。
思路分析

答案：$5\sqrt{10}$

答案： $5\sqrt{10}$

5 - 1 ★★☆ 有一个表面积为$12\ dm^{2}$的正方体，这个正方体的棱长为______$dm$。

答案： $\sqrt{2}$ [解析]根据正方体的表面积公式：$S = 6a^{2}$（$a$为棱长），可得$6a^{2}=12$，因为$a＞0$，所以$a=\sqrt{2}$.

5 - 2 ★★☆ 图中的“十”字由五个边长为1的小正方形组成，适当地剪几刀，可以把图中的“十”字拼成一个大正方形，则大正方形的边长为________。

答案： $\sqrt{5}$ [解析]因为小正方形的面积和为$5$，即拼成的大正方形的面积为$5$，所以大正方形的边长为$\sqrt{5}$.