《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例5 ★★☆ 已知$a = -2$，求$\frac{a^2 - 1}{a^2 + a}+\frac{\sqrt{a^2 - 2a + 1}}{a^2 - a}$的值.
错解:原式$=\frac{(a + 1)(a - 1)}{a(a + 1)}+\frac{\sqrt{(a - 1)^2}}{a(a - 1)}=\frac{a - 1}{a}+\frac{a - 1}{a(a - 1)}=\frac{a - 1}{a}+\frac{1}{a}=\frac{a}{a}=1$.
错解剖析:没有考虑$a - 1$的符号导致出错.因为$a = -2$，所以$a - 1 = -2 - 1 = -3\lt0$，因此$\sqrt{(a - 1)^2}=1 - a$.
正解:原式$=\frac{(a + 1)(a - 1)}{a(a + 1)}+\frac{\sqrt{(a - 1)^2}}{a(a - 1)}=\frac{a - 1}{a}+\frac{\vert a - 1\vert}{a(a - 1)}$.因为$a = -2\lt1$，所以$a - 1\lt0$.所以原式$=\frac{a - 1}{a}+\frac{-(a - 1)}{a(a - 1)}=\frac{a - 2}{a}$.当$a = -2$时，原式$=\frac{-2 - 2}{-2}=2$.

答案：

1.★☆☆ 若式子$\frac{x^0}{\sqrt{x + 1}}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是________.

答案： $x ＞ -1$且$x\neq0$

2.★☆☆ [襄阳襄州区期中]若$\sqrt{(1 - m)^2}=1 - m$，则$m$的取值范围是(　　)
A.$m\gt1$　　　　　
　B.$m\lt1$
C.$m\geq1$　　　　　
　D.$m\leq1$

答案： D

3.★★☆ 已知$a,b$在数轴上对应点的位置如图所示，化简:$\sqrt{(a + b)^2}+\sqrt{(a - b)^2}-\sqrt{a^2}=$________.

答案： $-a$ [解析]由$a,b$在数轴上对应点的位置，可得$a + b ＜ 0,a - b ＜ 0,a ＜ 0$，所以$\sqrt{(a + b)^2}+\sqrt{(a - b)^2}-\sqrt{a^2}=\vert a + b\vert+\vert a - b\vert-\vert a\vert=-a - b - a + b + a=-a$。

4.★☆☆ 计算:$\sqrt{5}\div\sqrt{2}\times2\sqrt{2}\div2\sqrt{5}$.

答案： 解:原式$=\sqrt{5}\times\frac{1}{\sqrt{2}}\times2\sqrt{2}\times\frac{1}{2\sqrt{5}} = 1$。

5.★☆☆ 计算:$\sqrt{12}\div(\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{2\sqrt{3}}{3})$.

答案： 解:原式$=2\sqrt{3}\div\frac{11\sqrt{3}}{12}=\frac{24}{11}$。

6.★★☆ 先化简:$(1-\frac{1}{x + 2})\div\frac{x^2 - 1}{x + 2}$，然后从$-2,-1,1,\sqrt{2}+1$四个数中选一个合适的数代入化简后的结果进行求值.

答案： 解:原式$=\frac{x + 2 - 1}{x + 2}\cdot\frac{x + 2}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{1}{x - 1}$。
因为$x + 2\neq0$且$x^2 - 1\neq0$，所以$x\neq - 2,\pm1$。所以$x=\sqrt{2}+1$。当$x=\sqrt{2}+1$时，原式$=\frac{1}{\sqrt{2}+1 - 1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。