《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

3−2在《新编直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几？”译文如下：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”绳索的长为______尺。

答案： 14.5 【解析】设绳索的长为x尺，则$10^{2}+(x + 1 - 5)^{2}=x^{2}$，解得x = 14.5.故绳索的长为14.5尺.

例4[大庆中考]如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港.
(1)求A，C两港之间的距离；(结果保留小数点后一位，参考数据：$\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{3}\approx1.732$)
(2)C港在A港的什么方向？

解:(1)如图，由题意可得$AB = BC = 10$km，$∠MAB = 60^{\circ}$，$∠PBC = 30^{\circ}$。
$\because MA// PB$，$\therefore ∠1 = ∠MAB = 60^{\circ}$，
$\therefore ∠ABC = 180^{\circ}-∠1 - ∠PBC = 90^{\circ}$，
$\therefore △ABC$是直角三角形。
$\therefore AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}} = 10\sqrt{2}\approx14.1$(km)。
答:A，C两港之间的距离约为14.1km。
(2)由(1)知$△ABC$为等腰直角三角形，
$\therefore ∠BAC = 45^{\circ}$，$\therefore ∠CAM = ∠MAB - ∠BAC = 60^{\circ}-45^{\circ}=15^{\circ}$。
答:C港在A港的北偏东15°方向。
解题策略：解决航行问题，常根据航行方向和航行距离确定已知角和已知边，然后将问题集中在直角三角形中，利用勾股定理求解。

答案：

4−1[毕节织金县期末]已知一轮船以18 n mile/h的速度从港口A出发，向西南方向航行，另一轮船以24 n mile/h的速度同时从港口A出发，向东南方向航行，离开港口1.5 h后，两轮船相距(　　　)
A.30 n mile　　　　
　B.35 n mile
C.40 n mile　　　　
　D.45 n mile

答案：
D 【解析】如图，连接BC.
∵两轮船行驶的方向分别是西南方向和东南方向，
∴∠BAC = 90°.离开港口1.5 h后，两轮船分别行驶了AB = 18×1.5 = 27(n mile)，AC = 24×1.5 = 36(n mile).根据勾股定理，得BC = $\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}$ = $\sqrt{27^{2}+36^{2}}$ = 45 (n mile).则两轮船相距45 n mile.

4−2[黄石期中]如图，一艘船在灯塔C的正东方向$8\sqrt{3}$n mile的A处，以20 n mile/h的速度沿北偏西60°方向航行。
(1)多长时间后，船距灯塔最近？
(2)多长时间后，船位于灯塔的正北方向？此时船距灯塔有多远？

答案：
解：
(1)如图，过点C作CD⊥AB于点D，当船航行到D处时，它距灯塔最近.
由题意，得∠CAD = 90° - 60° = 30°，AC = $8\sqrt{3}$ n mile.
∴CD = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}\times8\sqrt{3}$ = $4\sqrt{3}$(n mile)，
∴AD = $\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}$ = $\sqrt{(8\sqrt{3})^{2}-(4\sqrt{3})^{2}}$ = 12(n mile)，12÷20 = 0.6(h).
答：0.6 h后，船距灯塔最近.
(2)如图，过点C作CE⊥AC交AB于点E，则AE = 2CE.
∵在Rt△ACE中，$CE^{2}+AC^{2}=AE^{2}$，AC = $8\sqrt{3}$ n mile，
∴$CE^{2}+(8\sqrt{3})^{2}=(2CE)^{2}$，
∴CE = 8 n mile，
∴AE = 16 n mile，16÷20 = 0.8(h).
答：0.8 h后，船位于灯塔的正北方向，此时船距灯塔8 n mile远.