《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例1 ★★☆ [广州中考]代数式$\frac{1}{\sqrt{x - 8}}$有意义时，$x$应满足的条件是______.
思路分析

答案:$x\gt8$
解题策略:代数式有意义，必须保证组成代数式的每一部分都有意义.

答案： $x\gt8$

1-1 ★☆☆ [绥化中考]若式子$\sqrt{x + 1}+x^{-2}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是(　　)
A.$x\gt -1$　　　　
　B.$x\geq -1$
C.$x\geq -1$且$x\neq0$
　D.$x\leq -1$且$x\neq0$

答案： C

1-2 ★☆☆ [盘锦中考]若式子$\sqrt{2 - x}+\sqrt{x - 1}$有意义，则$x$的取值范围是______.

答案： $1\leqslant x\leqslant2$

1-3 ★★☆ 若实数$a,b$满足关系式$a + 2b=\frac{\sqrt{16 - b^2}+\sqrt{b^2 - 16}}{b + 4}+4$，则$ab =$______.

答案： $-16$ [解析]根据二次根式有意义的条件得$\begin{cases}16 - b^2\geqslant0\\b^2 - 16\geqslant0\end{cases}$，所以$b^2 - 16 = 0$，所以$b=\pm4$。根据分式有意义的条件得$b + 4\neq0$，所以$b\neq - 4$，所以$b = 4$。代入关系式得$a + 2\times4 = 4$，所以$a=-4$，所以$ab=-4\times4=-16$。

例2 ★★★ [分类讨论思想]若$\sqrt{(a - 1)^2}+\sqrt{(a - 3)^2}$的值是2，求$a$的取值范围.
解:原式$=\vert a - 1\vert+\vert a - 3\vert$.
当$a\lt1$时，原式$=(1 - a)+(3 - a)=4 - 2a$，则$4 - 2a = 2$，解得$a = 1$，不符合题意；
当$1\leq a\leq3$时，原式$=(a - 1)+(3 - a)=2$，符合题意；
当$a\gt3$时，原式$=(a - 1)+(a - 3)=2a - 4$，则$2a - 4 = 2$，解得$a = 3$，不符合题意.
所以$a$的取值范围是$1\leq a\leq3$.
解题策略:运用$\sqrt{a^2}=\vert a\vert$进行化简，当$a$的正负无法判断时，需要进行分类讨论，分类时要做到不重不漏.

答案：

2-1 ★☆☆ 下列各式一定成立的是(　　)

A.$(\sqrt{3})^2 = 3$　
　B.$\sqrt{(-2)^2}=-2$
C.$\sqrt{x^2}=x$　　　
　D.$\sqrt{(-7)^2}=7$

答案： D

2-2 ★☆☆ [遂宁中考]若$\vert a - 2\vert+\sqrt{a + b}=0$，则$ab =$______.

答案： $-4$ [解析]因为$\vert a - 2\vert+\sqrt{a + b}=0$，所以$a - 2 = 0,a + b = 0$，所以$a = 2,b=-2$，故$ab = 2\times(-2)=-4$。

2-3 ★★☆ 实数$a$在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简$\vert a - 2\vert+\sqrt{(a - 4)^2}$的结果是______.

答案： 2 [解析]由数轴可得$2 ＜ a ＜ 4$，则原式$=a - 2-(a - 4)=2$。

2-4 ★★☆ [靖江期末]已知$m$是$\sqrt{5}$的小数部分，求$\sqrt{m^2+\frac{1}{m^2}-2}$的值.

答案： 解:因为$m$是$\sqrt{5}$的小数部分，$2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$，所以$m=\sqrt{5}-2$。
原式$=\sqrt{(m-\frac{1}{m})^2}=\vert m-\frac{1}{m}\vert$。
因为$m=\sqrt{5}-2$，
所以$\frac{1}{m}=\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\sqrt{5}+2$，即$\frac{1}{m}＞m$，
所以原式$=-(m-\frac{1}{m})$
$=-m+\frac{1}{m}$
$=-(\sqrt{5}-2)+(\sqrt{5}+2)=4$。