《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例2 ★★☆ 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是边AB的中点，P是对角线BD上一动点，则AP+PE的最小值是( )

思路分析
点A关于BD的对称点为C 正方形ABCD是轴对称图形
AP = CP
AP+PE的最小值
CP+PE的最小值
两点之间，线段最短
当点E，P，C在同一条直线上时，CP+PE取得最小值，为CE的长
解析：如图，连接CE交BD于点P，连接AP.∵四边形ABCD是正方形，
∴点A与点C关于BD对称，∴AP = CP，
∴AP+PE = CP+PE = CE，此时AP+PE的值最小.∵正方形ABCD的边长为4，E是边AB的中点，∴BC = 4，BE = 2，∠ABC = 90°，∴在Rt△BCE中，$CE=\sqrt{BE^{2}+BC^{2}}=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=2\sqrt{5}$，∴AP+PE的最小值是$2\sqrt{5}$.
答案：A
解题策略 在解决有关线段之和的最小值问题时，常借助轴对称将原问题转化为“两点之间，线段最短”的问题来求解.

A.$2\sqrt{5}$
B.$2\sqrt{6}$
C.2 + $2\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{2}$

答案： A

2-1 ★★★ 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的动点，且BE = CF，连接BF，DE，则BF+DE的最小值为( )

A.$2\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{5}$
C.$4\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{5}$

答案：
D [解析]如图①，连接AE。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AB = BC$，$\angle ABE=\angle BCF = 90^{\circ}$。又 $BE = CF$，
∴ $\triangle ABE\cong\triangle BCF(SAS)$。
∴ $AE = BF$。
∴ $BF + DE$ 的最小值等于 $AE + DE$ 的最小值。如图②，作点A关于BC的对称点H，连接DH，DH与BC的交点即为所求的点E。连接AE，根据对称性可知 $AE = HE$，
∴ $AE + DE=HE + DE = DH$。在 $Rt\triangle ADH$ 中，$DH=\sqrt{AH^{2}+AD^{2}}=\sqrt{8^{2}+4^{2}} = 4\sqrt{5}$，
∴ $BF + DE$ 的最小值为 $4\sqrt{5}$。

2-2 ★★★ [贺州中考]如图，在矩形ABCD中，AB = 8，BC = 6，E，F分别是AD，AB的中点，∠ADC的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则△PEF周长的最小值为______.

答案： $5+\sqrt{37}$

2-3 ★★★ [眉山中考]如图，在菱形ABCD中，AB = AC = 10，对角线AC，BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM = 3，P为线段BD上的一个动点，则$MP+\frac{1}{2}PB$的最小值是______.

答案：
$\frac{7\sqrt{3}}{2}$ [解析]如图，过点P作 $PE\perp BC$ 于点E。
∵ 四边形ABCD是菱形，$AB = AC = 10$，
∴ $AB = BC = AC = 10$，$\angle ABD=\angle CBD$，
∴ $\triangle ABC$ 是等边三角形，
∴ $\angle ABC=\angle ACB = 60^{\circ}$，
∴ $\angle CBD = 30^{\circ}$。
∵ $PE\perp BC$，
∴ $\angle BEP = 90^{\circ}$，
∴ $PE=\frac{1}{2}PB$，
∴ $MP+\frac{1}{2}PB=MP + PE$，
∴ 当点M，P，E共线且 $ME\perp BC$ 时，$MP + PE$ 有最小值为 $ME$ 的长。
∵ $AM = 3$，
∴ $MC=AC - AM = 7$。$MP + PE$ 最小时，
∵ $\angle CME = 180^{\circ}-\angle MCB-\angle PEC = 30^{\circ}$，
∴ $CE=\frac{1}{2}MC=\frac{7}{2}$。在 $Rt\triangle MEC$ 中，$ME=\sqrt{MC^{2}-CE^{2}}=\sqrt{7^{2}-\left(\frac{7}{2}\right)^{2}}=\frac{7\sqrt{3}}{2}$，
∴ $MP+\frac{1}{2}PB$ 的最小值为 $\frac{7\sqrt{3}}{2}$。

2-4 ★★★ [自贡中考]如图，在矩形ABCD中，AB = 4，BC = 2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动.若EF = 1，则GE+CF的最小值为______.

答案： $3\sqrt{2}$