《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

12−3★★☆[武汉江汉区期中]如图①,A,B,,C,,D,分别是四边形ABCD各边的中点,且AC⊥BD,AC=6,BD=10.
　(1)试判断四边形A,B,C,D,的形状,并证明你的结论.
　(2)如图②,依次取A,B,B,C,C,D,,D,A,的中点A2,B2,C2,D2,再依次取A2B2,B2C2,C2D2,D2A2的中点A3,B3,C3,D3……依此类推,取
An−1Bn−1,Bn−1Cn−1,Cn−1Dn−1,Dn−1An−1 的中点A,B,,C,,D,(n为大于1的正整数),根据信息填空:

①四边形A,B,C,D的面积是________;
　　②若四边形A,BnCD，的面积为$\frac{15}{16}$,则n=________;
　　③试用含n的式子表示四边形A,BnC.D的面积:____________.

答案：

解:
(1)四边形ABCD，是矩形.证明如下:

∵ A,B,C,D;分别是四边形ABCD各边的中点，
∴ A;B、∥AC,CD、∥AC,
∴ AB、∥CD.

同理可得AD//B!C!,

∴ 四边形ABCD，是平行四边形.

∵ AD、∥BD,AC⊥BD,
∴ AD⊥AC.

又AB、∥AC,
∴ AB⊥AD.

∴ ∠BAD=90°°.

∴ ABCD是矩形.

(2)①15

②5

③$\frac {15}{2^{n-1}}$