《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例1 ★★★ 如图，在△ABC中，AC = 4，BC = 3，AB = 5，D为AB上的动点，连接CD，以AD，CD为边作□ADCE，则DE的长度最小为( )

思路分析
□ADCE→CE//AD
DE取最小值→DE⊥AB→DE = CF
作CF⊥AB
解析：∵四边形ADCE是平行四边形，
∴CE//AD. 垂线段最短
∴当DE⊥AB时，DE的长度最小.
如图，过点C作CF⊥AB于点F，
易得四边形DECF是矩形，∴DE = CF.
∵AC = 4，BC = 3，AB = 5，
∴AC²+BC² = AB²，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB = 90°，
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CF=\frac{1}{2}AC\cdot BC$，面积法
∴$CF=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{12}{5}$，
∴DE的长度最小为$\frac{12}{5}$.
答案：D
解题策略 在图形中寻找或作出垂线段，利用“垂线段最短”求最小值.

A.3
B.4
C.$\frac{16}{5}$
D.$\frac{12}{5}$

答案： D

1-1 ★☆☆ [常州期中]如图，在矩形ABCD中，∠BOC = 120°，BD = 12，P是AD边上一动点，则OP的最小值为( )

A.3
B.4
C.5
D.6

答案： A [解析]
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $OA = OB = OC = OD=\frac{1}{2}BD = 6$。
∵ $\angle AOD=\angle BOC = 120^{\circ}$，
∴ $\angle OAD=\angle ODA = 30^{\circ}$。当 $OP\perp AD$ 时，$OP$ 有最小值，此时 $OP=\frac{1}{2}OD = 3$。

1-2 ★★☆ [周口川汇区期中]如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点E在边BC的延长线上，点G在边CD上.若AB = 2，则线段DF的最小值为( )

A.1
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.2

答案：
B [解析]如图，连接CF并延长。
∵ 四边形CEFG是正方形，
∴ $\angle DCF=\frac{1}{2}\angle DCE = 45^{\circ}$。
∵ 无论正方形CEFG的大小如何变化，点F始终在CF上，
∴ 当 $DF\perp CF$ 时，$DF$ 的长最小。
∵ $\angle DCF = 45^{\circ}$，
∴ $\angle CDF=\angle DCF = 45^{\circ}$，
∴ $CF = DF$。
∵ $DF^{2}+CF^{2}=CD^{2}=AB^{2}=4$，
∴ $DF=\sqrt{2}$。则线段 $DF$ 的最小值为 $\sqrt{2}$。

1-3 ★★☆ 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = 10 cm，AC = 8 cm，D是AC上一点，以AD，BD为邻边作□ADBE，则对角线DE的最小值是______.

答案： 6cm [解析]
∵ 四边形ADBE是平行四边形，
∴ $AD// BE$。
∵ $\angle C = 90^{\circ}$，
∴ $BC\perp AD$，
∴ $AD$ 与 $BE$ 之间的距离为 $BC$ 的长。
∴ 当 $DE\perp AC$ 时，$DE$ 取最小值，此时 $DE = BC$。
∵ $\angle C = 90^{\circ}$，$AB = 10cm$，$AC = 8cm$，
∴ $BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}} = 6(cm)$，
∴ $DE$ 的最小值为 6cm。

1-4 ★★☆ 如图，在菱形ABCD中，∠A = 60°，AB = 2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接DE，DF，EF，在移动过程中，EF的最小值为______.

答案：
$\sqrt{3}$ [解析]如图，连接BD，过点D作 $DH\perp AB$ 于点H。
∵ 四边形ABCD为菱形，$\angle A = 60^{\circ}$，
∴ $AD = AB = BC = CD$，$\angle C=\angle A = 60^{\circ}$。
∴ $\triangle ABD$ 和 $\triangle BCD$ 都是等边三角形，
∴ $\angle ADB=\angle DBC = 60^{\circ}$，$AD = BD = AB = 2$。在 $Rt\triangle ADH$ 中，可得 $\angle ADH = 30^{\circ}$，
∴ $AH=\frac{1}{2}AD = 1$，
∴ $DH=\sqrt{AD^{2}-AH^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$。在 $\triangle ADE$ 和 $\triangle BDF$ 中，$\begin{cases}AD = BD\\\angle A=\angle FBD = 60^{\circ}\\AE = BF\end{cases}$，
∴ $\triangle ADE\cong\triangle BDF(SAS)$，
∴ $\angle 2=\angle 1$，$DE = DF$，
∴ $\angle EDF=\angle 1+\angle BDE=\angle 2+\angle BDE=\angle ADB = 60^{\circ}$，
∴ $\triangle DEF$ 为等边三角形，
∴ $EF = DE$。
∵ 当点E运动到点H处时，$DE$ 的值最小，其最小值为 $\sqrt{3}$，
∴ $EF$ 的最小值为 $\sqrt{3}$。