《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

题型二　利用几何变换求一次函数的解析式
例3 将函数$y = -2x$的图象向下平移后得到直线$AB$，若直线$AB$经过点$(m,n)$，且$2m + n + 6 = 0$，求直线$AB$的解析式.
思路分析
设直线$AB$的解析式为$y = -2x + b$
直线$AB$经过点$(m,n)$ $\begin{cases}-2m + b = n\\2m + n + 6 = 0\end{cases}$ 求得$b$值
解：由题意，将函数$y = -2x$的图象向下平移后得到直线$AB$，平移前后，两条直线解析式的比例系数不变
可设直线$AB$的解析式为$y = -2x + b$.
因为直线$AB$经过点$(m,n)$，
所以$-2m + b = n$，即$2m + n - b = 0$.
又$2m + n + 6 = 0$，所以$b = -6$.
因此，直线$AB$的解析式为$y = -2x - 6$.
知识点睛 直线$y_1 = k_1x + b_1$经图形变换后得到直线$y_2 = k_2x + b_2$，其字母系数之间的关系如下：
①平移：$k_1 = k_2$，$b_1\neq b_2$；②关于$x$轴对称：$b_1 + b_2 = 0$，$k_1 + k_2 = 0$；③关于$y$轴对称：$b_1 = b_2$，$k_1 + k_2 = 0$.

答案：

3 - 2若直线$l_1$经过点$(0,4)$和点$(3,-2)$，直线$l_2$与$l_1$关于$x$轴对称，则$l_2$的解析式为________.

答案： y=2x−4 [解析]因为直线$l_{1}$经过点(0,4)和点(3,−2),且$l_{1}$与$l_{2}$关于x轴对称,所以直线$l_{2}$经过点(0,−4)和点(3,2).设直线$l_{2}$的解析式为y=kx+b,则$\begin{cases}b = -4\\3k + b = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 2\\b = -4\end{cases}$，故直线$l_{2}$的解析式为y=2x−4.

3 - 3将函数$y = 2x - 1$的图象以$y$轴为对称轴翻折，所得到的图象的函数解析式为________.

答案： y=−2x−1

3 - 4[商洛洛南县期末改编]将直线$y = -2x$向下平移后得到直线$l$，若直线$l$经过点$(a,b)$，且$2a + b = -7$，则直线$l$的解析式为________.

答案： y=−2x−7　[解析]由平移可设直线l的解析式为y=−2x+k.把(a,b)代入y=−2x+k,得b=−2a+k,即2a+b=k.又2a+b=−7,所以k=−7.则直线l的解析式为y=−2x−7.

题型三　利用三角形的面积求一次函数的解析式
例4 [易错题]已知一次函数$y = kx + b$的图象与$x$轴交于点$A(-6,0)$，与$y$轴交于点$B$.若$\triangle AOB$的面积为$12$，求这个一次函数的解析式.
解：因为图象经过点$A(-6,0)$，所以$-6k + b = 0$，即$b = 6k$.易得图象与$y$轴的交点是$B(0,b)$，所以$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}OA\cdot OB=\frac{1}{2}\times6|b| = 12$.所以$b = 4$或$-4$.当$b = 4$时，$k = \frac{2}{3}$；当$b = -4$时，$k = -\frac{2}{3}$.则这个一次函数的解析式为$y = \frac{2}{3}x + 4$或$y = -\frac{2}{3}x - 4$.
易错提醒 用点的横坐标或纵坐标表示线段的长度时，如果不能确定其正负，那么需用其绝对值来表示.

答案：

4 - 1已知某直线经过点$A(0,2)$，且与两坐标轴围成的三角形的面积为$2$，则该直线的解析式是__________.

答案： y=x+2或y=−x+2　[解析]设直线的解析式为y=kx+b(k≠0),把A(0,2)代入,得b=2,所以y=kx+2.把y=0代入,得x=−$\frac{2}{k}$，所以$\frac{1}{2}\times2\left|-\frac{2}{k}\right| = 2$，所以k=1或−1,则所求直线的解析式为y=x+2或y=−x+2.

4 - 2如图，已知直线$y = \frac{1}{2}x + 2$交$x$轴于点$A$，交$y$轴于点$B$.若$C$是线段$AB$上一点，当$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}S_{\triangle AOB}$时，求直线$OC$的解析式.

答案： 解:对于$y = \frac{1}{2}x + 2$，
　　当x=0时,y=2;当y=0时,x=−4,
　　所以点A的坐标为(−4,0),点B的坐标为(0,2),
　　所以OA=4,OB=2,
　　所以$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}OA\cdot OB=\frac{1}{2}\times4\times2 = 4$.
　　因为$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}S_{\triangle AOB}$，所以$S_{\triangle AOC}=2$.
　　设点C的坐标为(m,n).因为点C在线段AB上,所以$\frac{1}{2}OA\cdot|y_{C}| = 2$，即$\frac{1}{2}\times4n = 2$，解得n=1.
　　所以$\frac{1}{2}m + 2 = 1$，解得m=−2.
　　所以点C的坐标为(−2,1).
　　设直线OC的解析式为y=kx(k≠0),
　　则−2k=1,解得k=−$\frac{1}{2}$，
　　所以直线OC的解析式为$y = -\frac{1}{2}x$.