《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

5−4[营口中考]如图，$△ABC$为等边三角形，边长为6，$AD⊥BC$，垂足为D，E，F分别是线段AD，AB上的动点，连接CE，EF，则$CE + EF$的最小值为______。

答案： $3\sqrt{3}$

例6 如图，已知AD是$△ABC$的中线，$∠C = 90^{\circ}$，$DE⊥AB$于点E. 求证：$AC^{2}=AE^{2}-BE^{2}$.

思路分析
在Rt△ACD中$AC^{2}=AD^{2}-CD^{2}$
在Rt△ADE中$AE^{2}=AD^{2}-DE^{2}$
在Rt△BDE中$BE^{2}=BD^{2}-DE^{2}$
因为AD是△ABC的中线，所以$BD = CD$
证明：$\because AD$是$△ABC$的中线，$\therefore BD = CD$.
$\because ∠C = 90^{\circ}$，$DE⊥AB$，
$\therefore AC^{2}=AD^{2}-CD^{2}$，
$AE^{2}=AD^{2}-DE^{2}$，$BE^{2}=BD^{2}-DE^{2}$.
$\therefore AE^{2}-BE^{2}=(AD^{2}-DE^{2})-(BD^{2}-DE^{2}) = AD^{2}-BD^{2}=AD^{2}-CD^{2}=AC^{2}$.
故$AC^{2}=AE^{2}-BE^{2}$.
解题策略：当遇到涉及线段之间的平方关系的问题时，通常寻找或构造合适的直角三角形，利用勾股定理将相关的线段联系起来。

答案：

6-1 如图，$△ACB$与$△ECD$都是等腰直角三角形，直角顶点都为C，$△ACB$的顶点A在$△ECD$的斜边所在的射线ED上。
(1)当$∠ACE＜90^{\circ}$时，求证：$AE^{2}+AD^{2}=2AC^{2}$。
(2)当$∠ACE＞90^{\circ}$时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请画出图形，并给出证明；若不成立，请说明理由。

答案：

(1)证明：如图①，连接BD.
∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠ACB = ∠ECD = 90°，AC = BC，CE = CD.
∴∠ACE = ∠BCD.
在△ACE和△BCD中，
$\begin{cases}CE = CD,\\\angle ACE = \angle BCD,\\AC = BC,\end{cases}$
∴△ACE≌△BCD(SAS).
∴AE = BD，∠E = ∠BDC.
∵∠E + ∠CDE = 90°，
∴∠BDC + ∠CDE = 90°，
即∠ADB = 90°.
在Rt△ADB中，$BD^{2}+AD^{2}=AB^{2}$.
∵$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}=2AC^{2}$，
∴$AE^{2}+AD^{2}=2AC^{2}$.

(2)解：
(1)中的结论还成立.图形如图②所示.
证明如下：如图②，连接BD.
∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠ACB = ∠ECD = 90°，AC = BC，CE = CD，
∴∠ACE = ∠BCD.
在△ACE和△BCD中，$\begin{cases}CE = CD,\\\angle ACE = \angle BCD,\\AC = BC,\end{cases}$
∴△ACE≌△BCD(SAS).
∴AE = BD，∠E = ∠BDC.
∵∠E + ∠CDE = 90°，
∴∠BDC + ∠CDE = 90°，即∠BDE = 90°.
∴∠ADB = 180° - ∠BDE = 90°.
在Rt△ADB中，$BD^{2}+AD^{2}=AB^{2}$.
∵$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}=2AC^{2}$，
∴$AE^{2}+AD^{2}=2AC^{2}$.