《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

1 - 2 [滨州中考]计算：$(-\frac{1}{2})^{-2}-|\sqrt{3}-2|+\sqrt{\frac{3}{2}}\div\sqrt{\frac{1}{18}}=$______.

答案： $2 + 4\sqrt{3}$

1 - 3 计算：
(1)$(\sqrt{3})^{2}+\sqrt{24}\div\sqrt{6}$；
(2)$\sqrt{12}-4\sqrt{\frac{1}{8}}\times(\sqrt{3}-\sqrt{8})$；
(3)$(4\sqrt{15}-3\sqrt{21})\times\sqrt{6}$；
(4)$(3+\sqrt{10})(\sqrt{\frac{1}{2}}-3\sqrt{5})$.

答案： 解:
(1)原式$= 3 + \sqrt{24\div6}=3 + 2 = 5$；
(2)原式$= 2\sqrt{3}-\sqrt{2}\times(\sqrt{3}-\sqrt{8})$
$= 2\sqrt{3}-\sqrt{6}+4$；
(3)原式$= 4\sqrt{15}\times\sqrt{6}-3\sqrt{21}\times\sqrt{6}$
$= 12\sqrt{10}-9\sqrt{14}$；
(4)原式$= 3\times\sqrt{\frac{1}{2}}-3\times3\sqrt{5}+\sqrt{10}\times\sqrt{\frac{1}{2}}-\sqrt{10}\times3\sqrt{5}$
$=\frac{3\sqrt{2}}{2}-9\sqrt{5}+\sqrt{5}-15\sqrt{2}=-\frac{27\sqrt{2}}{2}-8\sqrt{5}$。

2 - 1 [常德中考]计算：$(\frac{\sqrt{5}+1}{2}-1)\cdot\frac{\sqrt{5}+1}{2}=(\ )$
A.0
B.1
C.2
D.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

答案： B

2 - 2 [山西中考]计算：$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}-\sqrt{24}=$______.

答案： 5

2 - 3 计算：
(1)$(\sqrt{6}-\frac{1}{\sqrt{6}})\times\sqrt{6}-(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})$；
(2)[临沂中考]$|-\sqrt{2}|+(\sqrt{2}-\frac{1}{2})^{2}-(\sqrt{2}+\frac{1}{2})^{2}$.

答案： 解:
(1)原式$=(6 - 1)-(5 - 3)=3$；
(2)原式$=\sqrt{2}+(\sqrt{2}-\frac{1}{2}+\sqrt{2}+\frac{1}{2})(\sqrt{2}-\frac{1}{2}-\sqrt{2}-\frac{1}{2})$
$=\sqrt{2}+2\sqrt{2}\times(-1)=-\sqrt{2}$。

例3 [整体思想]计算：
(1)$(\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{6})^{2}-(\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{6})^{2}$；
(2)$(\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{5}+\sqrt{2})$；
(3)$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{20}\times(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{19}$.
分析：(1)逆用平方差公式；(2)先用平方差公式，再用完全平方公式；(3)先逆用同底数幂的乘法法则和积的乘方法则，再用平方差公式.
解：(1)原式$=(\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{6})(\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{6}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6})=2\sqrt{2}\times(2\sqrt{3}-2\sqrt{6})=4\sqrt{6}-8\sqrt{3}$；
(2)原式$=[\sqrt{3}+(\sqrt{5}-\sqrt{2})][\sqrt{3}-(\sqrt{5}-\sqrt{2})]=(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{5}-\sqrt{2})^{2}=3-(7 - 2\sqrt{10})=2\sqrt{10}-4$；
(3)原式$=(\sqrt{3}+\sqrt{2})\times(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{19}\times(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{19}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})[(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})]^{19}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})\times1^{19}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$.
解题策略 遇到此类计算要仔细观察式子，灵活选用乘法公式或整式的乘法法则进行计算.

答案：

3 - 1 计算：
(1)$(3\sqrt{2}+\sqrt{48})(\sqrt{18}-4\sqrt{3})$；
(2)$(\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{6})(\sqrt{3}-3\sqrt{2}-\sqrt{6})$；
(3)$(2\sqrt{2}-3)^{100}\times(2\sqrt{2}+3)^{101}$.

答案： 解:
(1)原式$=(3\sqrt{2}+4\sqrt{3})(3\sqrt{2}-4\sqrt{3})$
$=(3\sqrt{2})^{2}-(4\sqrt{3})^{2}$
$= 18 - 48$
$=-30$；
(2)原式$=[(\sqrt{3}-\sqrt{6})+3\sqrt{2}][(\sqrt{3}-\sqrt{6})-3\sqrt{2}]$
$=(\sqrt{3}-\sqrt{6})^{2}-(3\sqrt{2})^{2}$
$= 3 - 6\sqrt{2}+6 - 18$
$=-9 - 6\sqrt{2}$；
(3)原式$=(2\sqrt{2}-3)^{100}\times(2\sqrt{2}+3)^{100}\times(2\sqrt{2}+3)$
$=[(2\sqrt{2}-3)(2\sqrt{2}+3)]^{100}\times(2\sqrt{2}+3)$
$=(-1)^{100}\times(2\sqrt{2}+3)$
$= 2\sqrt{2}+3$。

5 - 2 已知$x=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{3})$，$y=\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{3})$，求下列各式的值：
(1)$x^{2}+xy+y^{2}$； (2)$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$.

答案： 解:因为$x=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{3})$，$y=\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{3})$，
所以$x + y=\sqrt{7}$，$xy = 1$。
(1)$x^{2}+xy+y^{2}=(x + y)^{2}-xy=(\sqrt{7})^{2}-1=7 - 1 = 6$。
(2)$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=\frac{(x + y)^{2}-2xy}{xy}=\frac{(\sqrt{7})^{2}-2\times1}{1}=5$。