《2025年黄冈状元成才路状元大课堂八年级数学下册人教版》

例2 当$x$是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）$\sqrt{-3x}$；（2）$\sqrt{\frac{-3}{2 - x}}$；（3）$\frac{x - 1}{\sqrt{x + 2}}$；（4）$\sqrt{3 - x}+\sqrt{x - 2}$。
思路分析
式子有意义需满足$\begin{cases}二次根式\sqrt{a}的被开方数a\geq0\\分式的分母不为0\end{cases}$，列不等式(组)求解得出结论。

解：（1）由$-3x \geq 0$，得$x \leq 0$。当$x \leq 0$时，$\sqrt{-3x}$在实数范围内有意义。
（2）由$\frac{-3}{2 - x} ＞ 0$，得$x ＞ 2$。当$x ＞ 2$时，$\sqrt{\frac{-3}{2 - x}}$在实数范围内有意义。
（3）由$x + 2 ＞ 0$，得$x ＞ -2$。当$x ＞ -2$时，$\frac{x - 1}{\sqrt{x + 2}}$在实数范围内有意义。
（4）由$\begin{cases}3 - x \geq 0\\x - 2 \geq 0\end{cases}$，得$2 \leq x \leq 3$。当$2 \leq x \leq 3$时，$\sqrt{3 - x}+\sqrt{x - 2}$在实数范围内有意义。
知识点睛 要使式子有意义，必须保证组成该式的每一部分都有意义，即字母取值是各部分有意义的条件的公共部分。

答案：

2 - 2 [黄石中考]若式子$\frac{\sqrt{x - 1}}{x - 2}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是( )
A.$x \geq 1$且$x \neq 2$
B.$x \leq 1$
C.$x ＞ 1$且$x \neq 2$
D.$x ＜ 1$

答案： A [解析]依题意，得$x - 1\geqslant0$且$x - 2\neq0$，所以$x\geqslant1$且$x\neq2$.

2 - 3 [教材P3练习T2变式题]当$x$是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）$\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 1}}$；
（2）$\sqrt{x + 1}+\sqrt{2 - x}+1$；
（3）$\frac{(x - 1)^{0}}{\sqrt{2x + 1}}$；
（4）$\sqrt{1 - 6x + 9x^{2}}$。

答案： 解：
(1)由$\begin{cases}x - 2\geqslant0 \\x - 1＞0\end{cases}$，得$x\geqslant2$.
当$x\geqslant2$时，$\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 1}}$在实数范围内有意义.
(2)由$\begin{cases}x + 1\geqslant0 \\2 - x\geqslant0\end{cases}$，得$-1\leqslant x\leqslant2$.
当$-1\leqslant x\leqslant2$时，$\sqrt{x + 1}+\sqrt{2 - x}+1$在实数范围内有意义.
(3)由$\begin{cases}2x + 1＞0 \\x - 1\neq0\end{cases}$，得$x＞-\frac{1}{2}$且$x\neq1$.
当$x＞-\frac{1}{2}$且$x\neq1$时，$\frac{(x - 1)^{0}}{\sqrt{2x + 1}}$在实数范围内有意义.
(4)$1 - 6x + 9x^{2}=(1 - 3x)^{2}\geqslant0$.
当$x$为任意实数时，$\sqrt{1 - 6x + 9x^{2}}$在实数范围内有意义.